Рис. 2

Окружность эту очень легко построить, если знать два ее свойства. Во-первых, центр окружности девяти точек лежит в середине отрезка, соединяющего центр описанной около треугольника окружности с точкой H - его ортоцентром (точка пересечения его высот). Во-вторых, ее радиус для данного треугольника равен половине радиуса описанной около него окружности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Определение - математическое предложение, предназначенное для введения нового понятия на основе уже известных нам понятий. В определении обычно содержится слово «называется». Например, определение ромба формулируется следующим образом: «Ромбом называется параллелограмм, две смежные стороны которого равны между собой». В этом определении новое понятие «ромб» введено на основе ряда понятий, уже известных к этому времени: «параллелограмм», «сторона», «смежные стороны», «равенство отрезков». Эти ранее введенные понятия, в свою очередь, определяются через предыдущие. Например, «параллелограмм» определяется через ранее введенные понятия «четырехугольник», «противоположные стороны четырехугольника», «параллельные прямые». В конце концов мы приходим к небольшому числу первоначальных понятий, через которые можно определить все встречающиеся в курсе геометрии понятия. Сами же первоначальные понятия не определяются, а их свойства описываются аксиомами.

Данное выше определение ромба можно записать в виде:

(дан параллелограмм ABCD)

(ABCD - ромб).

Эта запись похожа на запись теоремы (см. Необходимое и достаточное условия), но здесь назначение частей этой записи иное. Первая часть записи (аналогичная разъяснительной части теоремы) указывает родовое понятие, с помощью которого вводится новое понятие. В данном случае родовым понятием является параллелограмм, т.е. ромбы выделяются из множества всех параллелограммов. Вторая часть определения (аналогичная условию теоремы) указывает видовые отличия, т.е. те свойства, которыми должен обладать параллелограмм, чтобы его можно было назвать ромбом. Наконец, третья часть определения (аналогичная заключению теоремы) вводит новый термин, т.е. название вводимого понятия - в данном случае «ромб». То, что ABCD является ромбом (при выполнении видовых отличий), доказывать не нужно - это справедливо по определению. Поэтому под знаком

 ставят запись «опр.», которая указывает, что мы имеем дело с определением, а не с теоремой.

Еще один пример: квадратом называется ромб, один из углов которого - прямой. Это можно записать так:

(дан ромб ABCD)

(ABCD - квадрат).

Здесь родовое понятие - ромб, видовое отличие задается равенством ∠A = 90° (т. е. один из углов - прямой), а новый термин (т.е. название вводимого понятия) - квадрат (рис. 1).

Рис. 1

Аналогично могут быть рассмотрены и другие определения. Например, при рассмотрении поля родовым понятием является множество, а видовыми отличиями - аксиомы поля (см. Аксиоматика и аксиоматический метод).

В принципе можно обойтись вовсе без определений, излагая какую-либо математическую теорию. Например, можно изгнать термин «гипотенуза» из школьного курса геометрии, заменив его всюду на «сторона треугольника, лежащая против прямого угла». Уже из этого примера видно, насколько такая замена удлиняет текст (и осложняет его понимание), а ведь мы заменяем только одно слово! Легко представить себе, что было бы, если бы мы захотели излагать геометрию (и не только геометрию) вовсе без определений!

Давая определения, нужно следить за тем, чтобы не возникло порочного круга. Такой порочный круг возникнет, например, если мы определим простое число как число, не являющееся составным, а затем определим составное число как число, не являющееся простым. Ясно, что такие «определения», по сути дела, ничего не определяют. Другими словами, нельзя, чтобы какое-то понятие A₁ определялось через A₂, A₂ - через A₃, …, A_k-1 - через A_k, а A_k - снова через A₁.

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ

Определитель - число, поставленное по определенным правилам в соответствие квадратной матрице.

Определителем квадратной матрицы второго порядка

 называют число a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁.

Его обозначают det A, или

.

Часто вместо слова «определитель» говорят «детерминант», откуда и взялось указанное обозначение.

Определитель третьего порядка определим через определители второго порядка:

Здесь первые множители в знакочередующейся сумме - числа первой строки, а вторые множители - определители матриц, полученных вычеркиванием строки и столбца, которым принадлежит первый множитель.

Порядок определителя можно увеличивать и дальше. Пусть определены определители матриц вплоть до (n-1)-го порядка. Определителем матрицы n-го порядка

назовем число

где вновь имеем знакочередующуюся сумму произведений, в которых один из множителей - элемент первой строки, а другой - определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной вычеркиванием той строки и того столбца, которым принадлежит первый множитель.

Вычислим, например, определитель третьего порядка:

Определители играют важную роль в решении систем линейных уравнений.

Любопытно, что если составить из координат двух векторов d = (a₁,a₂) и b = (b₁,b₂) определитель

,

то его величина, с точностью до знака, равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах (рис. 1), а для трех векторов в пространстве

, ,  определитель

равен, опять с точностью до знака, объему параллелепипеда, построенного на этих векторах (рис. 2).

Рис. 1

Рис. 2

ОТРЕЗОК И ИНТЕРВАЛ

Отрезок - одна из основных геометрических фигур. Отрезком называется часть прямой, лежащая между точками A и B, включая и сами эти точки. Отрезок обозначается [AB]. Точки A и B называются его концами. Любая точка отрезка, лежащая между его концами, называется внутренней точкой отрезка. Длина отрезка равна расстоянию между его концами и обозначается |AB|.