Продолжая этот процесс, мы получим последовательность (x_n) точек, определенных при помощи формулы

, n = 1,2,3,....

Известно, что имеет место также неравенство |x_n+1 - c| ≤A·|x_n - c|², где A>0 - некоторая постоянная, не зависящая от n. Это неравенство показывает, что уже при достаточно малых n получается достаточно высокая точность приближений.

Приближенное вычисление площадей (интегралов) криволинейных трапеций (рис. 3,а) основано на простых геометрических рассмотрениях. Если отрезок [a,b], a>b, достаточно мал, то для вычисления площади S криволинейной трапеции для заданной непрерывной функции f на этом отрезке можно, заменив криволинейную трапецию прямоугольником (рис. 3,б) или прямолинейной трапецией (рис. 3,в), написать следующие приближенные равенства:

Рис. 3

Если заменить график функции на отрезке [a,b] не прямолинейным отрезком, а графиком параболы (рис. 3,г) и в качестве приближения для S взять площадь криволинейной трапеции, ограниченной дугой этой параболы, то получим формулу

.

Интегральное исчисление дает возможность более точно вычислить площадь криволинейной трапеции.

Чтобы добиться возможно меньшей ошибки при приближенных вычислениях S, промежуток от a до b разбивают предварительно на 2n равных частей. Тогда дуга графика y=f(x) разбивается на n частей (рис. 4). Если теперь для каждой из этих маленьких дуг использовать предыдущие способы приближения, то для площади S получатся приближенные значения в виде сумм площадей n криволинейных трапеций; имеем:

Рис. 4

Первые две формулы носят названия формулы прямоугольников и формулы трапеций, а последняя формулы Симпсона, по имени английского математика Т. Симпсона (1710-1761).

Оценки погрешности в этих приближенных формулах на практике подсчитываются следующим образом. Выбирают число n, кратное 4, и находят значение S по формуле Симпсона (более точной из этих трех) с числом точек n и n/2 ( S_n и S_n/2) и приближенно определяют ошибку вычислений при помощи соотношения

S - S_n ≈ 1/15(S_n - S_n/2).

ПРИЗМА

Пусть M = ABC... - плоский n-угольник, а многоугольник M' = A'B'C'... получается из M параллельным переносом на вектор

, не параллельный плоскости M. Многогранник, ограниченный многоугольниками M и M' и параллелограммами ABB'A', BCC'B', … (рис. 1), называется n-угольной призмой (от греческого слова prisma - «отпиленный кусок») с основаниями M и M', боковыми гранями ABB'A', BCC'B', … и боковыми ребрами AA', BB', … . Если боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований, то призма называется прямой, а в противном случае - наклонной. Наконец, призма называется правильной, если она прямая и в основаниях имеет правильные многоугольники.

Рис. 1

Правильная n-угольная призма совмещается сама с собой при поворотах около своей оси - прямой, проходящей через центры оснований O и O' (рис. 2). Через ось проходят n плоскостей симметрии призмы, а еще одна плоскость симметрии проходит через середину отрезка OO' перпендикулярно ему. Точно такие же плоскости симметрии имеет двойственный к правильной n-угольной призме диэдр, или бипирамида, - многогранник, ограниченный 2n треугольниками с вершинами в центрах оснований и боковых граней призмы (рис. 3). Встречающиеся в природе монокристаллы часто имеют форму правильных, возможно усеченных, призм и диэдров (в силу кристаллографических ограничений число n для кристаллических форм может равняться лишь 3, 4 или 6).

Рис. 2

Рис. 3

Еще один частный случай симметричных призм - параллелепипед, т.е. призма с параллелограммами в основаниях. Параллелепипед имеет 4 диагонали, которые пересекаются в одной точке O - центре симметрии параллелепипеда. В этой точке диагонали делятся пополам (рис. 4). Прямые параллелепипеды имеют еще и ось симметрии, проходящую через центры оснований (рис. 5). Если основаниями прямого параллелепипеда являются прямоугольники, то он называется прямоугольным. Прямоугольные параллелепипеды преобладают среди окружающих нас многогранных форм: это всевозможные коробки, комнаты, здания и т.д. Эти параллелепипеды имеют по три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии, пересекающиеся по трем осям симметрии (рис. 6). Среди прямоугольных параллелепипедов еще более симметричными являются правильные четырехугольные призмы (5 плоскостей симметрии) и куб (9 плоскостей симметрии - на рис. 7 показано, как они разрезают поверхность куба).

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

Существует интересная связь между параллелепипедами и тетраэдрами: если через каждые два скрещивающихся ребра тетраэдра провести пару параллельных плоскостей, то получающиеся шесть плоскостей будут ограничивать описанный около тетраэдра параллелепипед (рис. 8). При этом правильному тетраэдру отвечает куб, равногранным тетраэдрам - прямоугольные параллелепипеды.

Рис. 8

Объем произвольной призмы равен произведению площади ее основания на высоту, т.е. на расстояние между плоскостями оснований. Есть еще одна формула для объема призмы V = S₁·l, где l - длина бокового ребра, a S₁ - площадь перпендикулярного боковым ребрам сечения призмы.

ПРОГРАММА ДЛЯ ЭВМ

Программа для вычислительной машины (от греческого слова programma - «объявление», «предписание», «указание», «распоряжение») - это запись на языке, понятном вычислительной машине, точно сформулированного задания на выполнение ей работы по обработке информации.

Понятие программы для вычислительной машины является по существу синонимом понятия алгоритм: добавляется лишь требование, что запись должна быть понятна вычислительной машине. Это требование, во-первых, ограничивает класс рассматриваемых процессов только обработкой информации, а во-вторых, ограничивает способ описания процессов исключительно языками программирования.

Программа обязательно содержит три раздела:

исходные данные или указание, где они находятся и откуда их можно взять (ввод);

правила получения результата по исходным данным (обработка);

указание, что нужно делать с полученным результатом (вывод).

Процесс составления программы называется программированием.

Программирование обычно начинается с формального математического или словесного описания процесса решения задачи. Затем это описание постепенно уточняется с учетом специфики языка программирования, на котором должна быть записана программа, а если этим языком является машинный, то с учетом особенностей машины и системы ее команд. Уточнение проводится до тех пор, пока не получится запись на языке программирования.