Но свойства (1)-(3) уже не будут выполняться для центральной проекции. Центральной проекцией точки M с центром S на плоскость p называется точка M' пересечения прямой MS с плоскостью p. С этим видом проекции мы также сталкиваемся на каждом шагу. Тень от лампы, которую отбрасывает предмет на стену (рис. 5), - пример, когда фигура расположена между центром S и плоскостью проекции. Изображение в фотоаппарате (с некоторым приближением) - центральная проекция, центр которой расположен между предметом и плоскостью проекций p (изображение здесь получается перевернутым, рис. 6). Центральная проекция (ее также называют «линейная перспектива») играет большую роль и в изобразительном искусстве: скажем, рисуя на картине тень человека, отбрасываемую на асфальт от уличного фонаря, мы имеем дело с композицией двух центральных проекций: одна проекция человека с центром в лампочке фонаря на плоскость тротуара, вторая - проекция тени с центром в глазу художника на плоскость холста. Тут может спасти от ошибки лишь одно главное свойство центральной проекции: любую прямую она переводит в прямую. Изображением окружности при центральной проекции может быть не только эллипс (как при ортогональной или параллельной проекции), но также парабола или гипербола (рис. 7). Свойства фигур, сохраняющиеся при центральном проектировании, - предмет изучения проективной геометрии.

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

ПРОПОРЦИЯ

Пропорцией называют равенство отношений двух или нескольких пар чисел или величин. Например, размеры модели машины или сооружения отличаются от размеров оригинала одним и тем же множителем, задающим масштаб модели. Поэтому если выбрать на оригинале четыре точки A,B,C и D и обозначить через A',B',C',D' соответствующие точки на модели, то будет выполняться равенство A'B'/AB = C'D'/CD (оба отношения равны масштабу). Такое равенство двух отношений и будет пропорцией. Справедлива и другая пропорция AB/CD = A'B'/C'D', которая показывает, что отношения расстояний точек оригинала такие же, как и отношения расстояний соответствующих точек модели.

В древности в неявной форме идеей пропорциональности пользовались при решении задач методом ложного положения: давали искомой величине произвольное значение, вычисляли, какое значение должна при этом иметь одна из данных величин, и сравнивали с условием задачи. Отношение величин давало коэффициент, на который надо умножить выбранное значение, чтобы получить правильный ответ.

Систематически пропорции начали изучать в Древней Греции. Сначала рассматривали лишь пропорции, составленные из натуральных чисел, и поэтому считали, что числа a,b,c,d образуют пропорцию, если a является тем же кратным (той же долей или той же дробью) от b, что и c от d. В этот период не различали пропорции, составленные из величин, и пропорции, составленные из чисел. Открытие несоизмеримости диагонали квадрата и его стороны заставило рассматривать такие пропорции как разные объекты. В IV в. до н.э. древнегреческий математик Евдокс дал определение пропорции, составленной из величин любой природы.

Древнегреческие математики превратили пропорции в весьма гибкий аппарат исследования. С их помощью решали задачи, которые в наши дни решают с помощью уравнений, а место алгебраических преобразований занял переход от одной пропорции к другой. Например, было известно, что если справедлива пропорция a/b = c/d, то справедливы и следующие производные пропорции:

и многие иные.

Роль теории пропорций заметно уменьшилась после того, как было осознано, что отношение величин является числом (быть может, иррациональным), а потому пропорция - это просто равенство чисел. Это позволило применять вместо пропорции уравнения, а вместо преобразования пропорций - алгебраические преобразования.

ПРОСТОЕ ЧИСЛО

Натуральные числа, отличные от единицы, подразделяют на простые и составные. Простым называется такое натуральное число, делителями которого являются только оно само и единица. Остальные числа называются составными. Евклид определял простые числа так: «Простое число есть измеряемое только единицей, составное число есть измеряемое некоторым числом». Примеры простых чисел: 2, 5, 37, 1987. Числа же 4, 6, 162, 2553 составные. Число 1 не относят ни к простым, ни к составным. Простых чисел, так же как и составных, бесконечно много.

Каждое составное натуральное число можно разложить на простые множители. Например: 4 = 2·2, 6 = 2·3, 162 = 2·3·3·3·3, 2553 = 3·23·37. Можно сказать, что простые числа представляют собой как бы элементарные кирпичики, из которых строятся остальные числа.

«Основная теорема арифметики» утверждает, что любые два разложения данного натурального числа на простые множители одинаковы, если не обращать внимание на порядок следования сомножителей.

Для того чтобы доказать, что данное натуральное число N простое, достаточно установить, что оно не делится ни на одно из чисел от 2 до √N. Если же N делится на одно из таких чисел, то N составное.

Более удобный способ «отсеивания» составных чисел основан на следующем наблюдении. Если выписать подряд последовательные натуральные числа, то, зачеркивая каждое второе число из следующих за числом 2, мы отсеем все числа, кратные числу 2; зачеркивая каждое третье число из следующих за числом 3, мы отсеем все числа, кратные 3, и, вообще, какое бы натуральное число k мы ни взяли, зачеркивая каждое k-е число из стоящих за k, мы отсеем все числа, кратные k. Поэтому если нам нужно отыскать все простые числа, не превосходящие данного числа N, то выпишем подряд все числа от 2 до N. Отметим число 2 как первое простое. Затем по способу «отсеивания» отбросим все числа, кратные 2; первое невычеркнутое число - это следующее простое число 3. Отбросим все числа, кратные 3; первое невычеркнутое число - это следующее простое число 5 и т.д. Будем продолжать этот процесс до тех пор, пока не доберемся до простого числа, которое больше √N. Все оставшиеся невычеркнутыми числа будут простыми.

Такой способ отыскания простых чисел был известен еще греческому математику Эратосфену, жившему в III в. до н.э. Во времена Эратосфена писали на восковых дощечках, а вместо того чтобы числа вычеркивать, дощечку в нужном месте прокалывали. Отсюда и название способа - «решето Эратосфена».

В разные времена математики искали формулу, которая при различных значениях входящих в нее переменных давала бы простые числа. Так, Л. Эйлер указал многочлен n² - n + 41, значения которого при n = 0,1,2,...,40 - простые числа. Однако легко доказать, что нет многочлена от одной переменной, который при всех целых ее значениях принимает простые значения. П. Ферма высказал предположение, что все числа вида

 простые (при k = 0,1,2,3,4 это числа 3, 5, 17, 257, 65537). Однако Л. Эйлер опроверг это предположение, доказав, что при k = 5 число  составное. Все же известны формулы, принимающие при всех целых значениях переменных простые значения. Так, советский математик Ю. В. Матиясевич доказал, что существует многочлен от нескольких переменных, который принимает все простые значения по одному разу, причем все положительные его значения - простые числа.