Инженерный гений Архимеда с особой силой проявился при осаде Сиракуз, богатого торгового города на острове Сицилия.

Воины римского консула Марцелла были надолго задержаны у стен города невиданными машинами: мощные катапульты прицельно стреляли каменными глыбами, в бойницах были установлены метательные машины, выбрасывающие грады ядер, береговые краны поворачивались за пределы стен и забрасывали корабли противника каменными и свинцовыми глыбами, крючья подхватывали корабли и бросали их вниз с большой высоты, системы вогнутых зеркал (в некоторых рассказах – щитов) поджигали корабли. В «Истории Марцелла» Плутарх описывает ужас, царивший в рядах римских воинов: «Как только они замечали, что из-за крепостной стены показывается веревка или бревно, они обращались в бегство с криком, что вот Архимед еще выдумал новую машину на их погибель».

Огромен вклад Архимеда и в развитие математики. Спираль Архимеда (см. Спирали), описываемая точкой, двигающейся по вращающемуся кругу, стояла особняком среди многочисленных кривых, известных его современникам. Следующая кинематически определенная кривая – циклоида – появилась только в XVII в. Архимед научился находить касательную к своей спирали (а ею предшественники умели проводить касательные только к коническим сечениям), нашел площадь ее витка, а также площадь эллипса, поверхности конуса и шара, объемы шара и сферического сегмента. Особенно он гордился открытым им соотношением объема шара и описанного вокруг него цилиндра, которое равно 2:3 (см. Вписанные и описанные фигуры).

Архимед много занимался и проблемой квадратуры круга (см. Знаменитые задачи древности). Ученый вычислил отношение длины окружности к диаметру (число π) и нашел, что оно заключено между 3 10/71 и 3 1/7.

Созданный им метод вычисления длины окружности и площади фигуры был существенным шагом к созданию дифференциального и интегрального исчислений, появившихся лишь 2000 лет спустя.

Архимед нашел также сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 1/4. В математике это был первый пример бесконечного ряда.

Большую роль в развитии математики сыграло его сочинение «Псаммит» - «О числе песчинок», в котором он показывает, как с помощью существовавшей системы счисления можно выражать сколь угодно большие числа. В качестве повода для своих рассуждений он использует задачу о подсчете количества песчинок внутри видимой Вселенной. Тем самым было опровергнуто существовавшее тогда мнение о наличии таинственных «самых больших чисел».

------------------------------------------

Среди важных понятий, которые ввела арифметика, надо отметить пропорции и проценты. Большинство понятий и методов арифметики основано на сравнении различных зависимостей между числами. В истории математики процесс слияния арифметики и геометрии происходил на протяжении многих веков.

Можно отчетливо проследить «геометризацию» арифметики: сложные правила и закономерности, выраженные формулами, становятся понятнее, если удается изобразить их геометрически. Большую роль в самой математике и ее приложениях играет обратный процесс – перевод зрительной, геометрической информации на язык чисел (см. Графические вычисления). В основе этого перевода лежит идея французского философа и математика Р. Декарта об определении точек на плоскости координатами. Разумеется, и до него эта идея уже использовалась, например в морском деле, когда нужно было определить местонахождение корабля, а также в астрономии, геодезии. Но именно от Декарта и его учеников идет последовательное применение языка координат в математике. И в наше время при управлении сложными процессами (например, полетом космического аппарата) предпочитают иметь всю информацию в виде чисел, которые и обрабатывает вычислительная машина. При необходимости машина помогает человеку перевести на язык рисунка накопленную числовую информацию.

Вы видите, что, говоря об арифметике, мы все время выходим за ее пределы - в алгебру, геометрию, другие разделы математики.

Как же очертить границы самой арифметики?

В каком смысле употребляется это слово?

Под словом «арифметика» можно понимать:

учебный предмет, занимающийся преимущественно рациональными числами (целыми числами и дробями), действиями над ними и задачами, решаемыми с помощью этих действий;

часть исторического здания математики, накопившую различные сведения о вычислениях;

«теоретическую арифметику» - часть современной математики, занимающуюся конструированием различных числовых систем (натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные числа и их обобщения);

«формальную арифметику» - часть математической логики (см. Логика математическая), занимающуюся анализом аксиоматической теории арифметики;

«высшую арифметику», или теорию чисел, самостоятельно развивающуюся часть математики.

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

Арифметической прогрессией называют последовательность (an), у которой каждый член, начиная со второго, больше (или меньше) предыдущего на постоянное (для данной прогрессии) число d. Число d называют разностью арифметической прогрессии. Другими словами, арифметическая прогрессия – это последовательность, заданная по правилу: a1 и d даны, an+1 = an + d при n ≥ 1.

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому последующего и предыдущего членов:

Энциклопедический словарь юного математика _15.jpg
.

Это отражено в названии последовательности: арифметическая прогрессия. Верно и более общее свойство:

Энциклопедический словарь юного математика _16.jpg
 при n≥k.

Справедливы следующие формулы (через Sn обозначена сумма первых n членов арифметической прогрессии):

an = a1 + (n-1)d,   (1)

Энциклопедический словарь юного математика _17.jpg
,   (2)

Энциклопедический словарь юного математика _18.jpg
. (3)

С формулой (3) связан интересный эпизод из жизни немецкого математика К.Ф. Гаусса (1777-1855). Когда ему было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 40 включительно:

1+2+3+4+5+...+40».

Каково же было удивление учителя, когда один из учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул: «Я уже решил». Большинство учеников после долгих подсчетов получили неверный результат. В тетради Гаусса было только одно число, но зато верное.

Вот схема его рассуждений. Сумма чисел в каждой паре равна 41:

1, 2, 3, ... , 20

+

40, 39, 38, ..., 21

------------------

41, 41, 41, ..., 41

Таких пар 20, поэтому искомая сумма равна 41·20 = 820.

Арифметические прогрессии и их свойства изучались математиками с древних времен. Греческих математиков интересовала связь прогрессий с так называемыми многоугольными числами (см. Фигурные числа), вычислением площадей, объемов, красивыми числовыми соотношениями типа:

1 = 12

1 + 3 = 22

1 + 3 + 5 = 32

1 + 3 + 5 + 7= 42

1 = 13

3 + 5 = 23

7 + 9 + 11 = 33

13 + 15 + 17 + 19 = 43

Большой популярностью даже в наши дни пользуются магические квадраты (см. Магические и латинские квадраты). Это квадраты, в каждую клетку которых вписаны числа так, что суммы чисел вдоль любой горизонтали, любой вертикали и любой диагонали равны (рис. 1). Такой магический квадрат изображен на гравюре немецкого художника А. Дюрера «Меланхолия».


Перейти на страницу:
Изменить размер шрифта: