.

При α = -1,1,2 соответственно получается среднее гармоническое, среднее арифметическое и среднее квадратичное. При α = 0  A(α) не определено, однако можно показать, что при стремлении α к нулю A(α) стремится к среднему геометрическому, и потому можно считать S(0) средним геометрическим. Основное свойство степенных средних - это монотонность: S(α₁) ≤ S(α₂), если α₁ < α₂, в частности

S(-1) ≤ S(0) ≤ S(1) ≤ S(2).

Рассмотрим следующую процедуру. По двум положительным числам a и b составим их среднее арифметическое a₁ = (a + b)/2 и среднее геометрическое

, затем по числам a₁ и b₁ составим их среднее арифметическое a₂ = (a₁ + b₁)/2 и среднее геометрическое . Продолжим этот процесс, определяя a_n и b_n с помощью формул:

 и .

Образуются две последовательности чисел (a_n) и (b_n). Например, если взяты числа a=1 и b=3, то первые члены последовательностей будут такие:

В приведенном примере последовательности (a_n) и (b_n) очень быстро сближаются. В общем случае, как было показано немецким математиком К. Ф. Гауссом, последовательности (a_n) и (b_n) приближаются друг к другу достаточно быстро и имеют общий предел. Предел этот называется арифметико-геометрическим средним чисел a и b. Он не выражается элементарно через a и b, однако не является и каким-то математическим курьезом, а находит многочисленные применения в ряде разделов математики.

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ

Степенная функция - функция вида y=x^α, где α - заданное число, называемое показателем степени. Иногда степенной функцией называется функция несколько более общего вида y=ax^α.

Многие функциональные зависимости выражаются через степенную функцию. Например, объем куба V есть степенная функция от x (длины его ребра): V = x³; период T колебаний математического маятника пропорционален длине маятника x в степени 1/2, а именно

. Если газ расширяется или сжимается без теплообмена с окружающей средой, то его давление P и объем V связаны формулой V·P^k=C (для воздуха, например, k=-1,4). Заметим, что в двух последних случаях показатель не является целым числом.

При любом показателе степени α показательная функция y=x^α определена во всяком случае на положительной полуоси. Свойства степенной функции различны в зависимости от значения показателя степени. Если α - натуральное число (α=n), то функция y = xⁿ определена на всей числовой оси, обращается в нуль при x=0, четная при четном n и нечетная при n нечетном, неограниченно возрастает при безграничном возрастании аргумента x. На рис. 1 и 2 приведены графики типичных степенных функций с целым положительным показателем: y = x³ (кубическая парабола) и y = x⁴ (парабола четвертой степени). При n = 1 степенная функция y = x является линейной функцией, при n = 2 - квадратичной функцией y=x².

Рис. 1

Рис. 2

Если α - отрицательное целое число (α = -n), то степенная функция определяется равенством y=1/xⁿ. Она определена при всех отличных от нуля x. Ее график состоит из двух частей (ветвей), имеющих асимптотами оси координат, к которым эти кривые неограниченно приближаются. Типичные представители - функции y = 1/x и y=1/x² их графики даны на рис. 3 и 4. При α = 0 по определению x⁰=1. Если α = 1/n, то функция y = x^1/n (обозначается также

) определяется как обратная функция для функции y = xⁿ. При четном n функция определена лишь для x ≥ 0, а при нечетном n - на всей оси. Графики таких функций  и  изображены на рис. 5 и 6.

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Для рационального показателя α = p/q (p/q - несократимая дробь) степенная функция определяется формулой

y = x^p/q = (x^1/q)^p.

Графики типичных степенных функций с рациональным показателем приведены на рис. 7, 8, 9.

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

СФЕРА И ШАР

Точки пространства, удаленные от данной точки O на данное расстояние R, образуют сферу с центром O и радиусом R. Сфера ограничивает шар, состоящий из точек, удаленных от O на расстояние, не большее R. Эти геометрические объекты, так же как окружность и круг, рассматривали еще в глубокой древности. Открытие шарообразности Земли, появление представлений о небесной сфере дали толчок к развитию специальной науки - сферики, изучающей расположенные на сфере фигуры (см. Сферическая геометрия). Рассмотрим основные вопросы классической стереометрии: взаимное расположение шара (сферы) и других пространственных фигур, измерение объема шара и его частей, а также площади сферы и ее частей.

Прежде всего, плоскость α, проведенная на расстоянии d < R от центра O шара радиуса R, в пересечении с шаром дает круг радиуса

 с центром в точке H - основании перпендикуляра, проведенного из O к α (рис. 1). Если плоскость α отстоит от центра O на расстояние d = R, то α имеет с шаром (и сферой) единственную общую точку T. Такие плоскости называются касательными к шару (сфере); они характеризуются тем, что перпендикулярны радиусу OT, проведенному в точку касания.

Рис. 1

Круговое сечение шара делит его на два шаровых сегмента, а сферу - на две сегментные поверхности. Часть шара, ограниченная двумя параллельными круговыми сечениями и лежащим между ними сферическим поясом (или зоной), называется шаровой зоной (рис. 2). Радиусы, проведенные от центра шара к точкам сферы, принадлежащим одной сегментной поверхности или сферическому поясу, образуют шаровой сектор - он может быть ограничен сферическим сегментом или зоной и одной или двумя коническими поверхностями (рис. 3). Высота шаровой или сферической зоны - это расстояние между плоскостями сечений; высота шарового сегмента или сегментной поверхности определяется как расстояние от плоскости сечения до параллельной ей плоскости, касательной к этому сегменту (рис. 2). Высоту шарового сектора определяют как высоту соответствующей сегментной поверхности или сферического пояса (рис. 3).