Научную деятельность Л. С. Понтрягин сочетал с активным интересом к преподаванию. Его учебник по дифференциальным уравнениям, не раз издававшийся в СССР и за рубежом, удостоен Государственной премии. Специально для школьников он написал несколько книг из серии «Знакомство с высшей математикой».

------------------------------------------

Разумеется, все это лишь отдельные наглядные примеры топологических фактов. В наши дни топология - большая, обстоятельная наука, в которой изучаются глубинные свойства геометрических фигур. Проблема четырех красок (см. Комбинаторика, Графы), узлы, зацепления (рис. 4-6), природа линий и поверхностей и многое другое изучается в топологии. Даже так называемая основная теорема алгебры (см. Многочлен) является в действительности топологической теоремой. Современная топология находит ряд интересных и важных приложений в других разделах математики, в физике, например в электротехнике, в теории жидких кристаллов, в молекулярной биологии, в космогонии и т.д.

Рис. 4. Схема морского узла.

Для того, чтобы определить степень сцепления двух узлов, вводится понятие коэффициента зацепления. На рис. 5 он равен 0, а на рис. 6 -1.

Рис. 5

Рис. 6

ТРЕУГОЛЬНИК

Простейший из многоугольников – треугольник - играет в геометрии особую роль. Без преувеличения можно сказать, что вся (или почти вся) геометрия со времен «Начал» Евклида покоится на «трех китах» - трех признаках равенства треугольников. Лишь на рубеже XIX-XX вв. математики научились строить геометрию на основе более фундаментального и общего, чем равенство треугольников, понятия геометрического преобразования.

За несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник, что иногда говорят о «геометрии треугольника» как о самостоятельном разделе элементарной геометрии.

В треугольнике ABC выделяют 6 основных элементов - 3 (внутренних) угла A,B,C и 3 соответственно противолежащие им стороны a, b и c. Признаки равенства треугольников можно сформулировать так: треугольник однозначно (т.е. с точностью до равенства) восстанавливается по следующим тройкам основных элементов:

a, b и C; a, B и C; a, b и c.

Из школьного курса вам известны еще «три кита» евклидовой планиметрии - три признака подобия треугольников: треугольник с точностью до подобия восстанавливается по следующим парам величин:

a:b,C; a:b, b:c; A,B.

Заметим, что в признаках равенства нельзя взять любую тройку основных элементов, даже если один из них - сторона; на рис. 1 показано, например, что треугольник нельзя однозначно построить по элементам a, b и B: треугольники A₁BC и A₂BC имеют общие угол B и сторону BC = a, равные стороны A₁C и A₂C, но эти треугольники не равны.

Рис. 1

Кроме того, элементы треугольника нельзя задать произвольно, даже если их только три. Например, чтобы можно было построить треугольник по трем сторонам a, b и c, необходимо (и достаточно) (см. Необходимые и достаточные условия), чтобы выполнялись три «неравенства треугольника»:

a < b + c; b < a + c; c < a + b.

Углы треугольника связаны более жестким соотношением:

A + B + C = 180° (или π).

Анализируя первый и второй признаки равенства - по a, b, C или a, B, C, - мы приходим к выводу о том, что остальные элементы треугольника ABC, в частности сторона c, однозначно определяются имеющимися тремя элементами. Для стороны c соответствующие формулы даются теоремами косинусов и синусов:

c² = a² + b² - 2ab cos C и

где A = π - B - C.

Центральное место в геометрии треугольника занимают свойства так называемых замечательных точек и линий, простейшие из которых мы и рассмотрим. Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке - центре описанной около треугольника окружности (рис. 2). Этот факт следует из свойства серединного перпендикуляра d к отрезку: d состоит из тех, и только тех, точек, которые равноудалены от концов отрезка. Если для треугольника ABC серединные перпендикуляры к AB и BC пересекаются в точке O, то |OA| = |OB| и |OB| = |OC|, поэтому |OA| = |OC| и точка O обязана лежать на серединном перпендикуляре к третьей стороне AC.

Рис. 2

Биссектрисы трех внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке - центре вписанной в треугольник окружности (рис. 3). Это следует из основного свойства биссектрисы l выпуклого угла: l состоит из тех, и только тех, точек угла, которые равноудалены от его сторон. Если рассмотреть дополнительно биссектрисы трех пар внешних углов треугольника, то получается еще три замечательные точки - центры вневписанных окружностей (рис. 4).

Рис. 3

Рис. 4

Радиусы описанной, вписанной и вневписанной окружностей R, r, r_a, r_b и r_c связаны красивым соотношением

r_a + r_b + r_c = r +4R

а расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей ρ можно найти по формуле Эйлера:

ρ² = R² -2Rr.

Здесь же приведем формулы для площади треугольника:

S = (abc)/4R = pr,

где p - полупериметр треугольника.

Среди свойств биссектрис треугольника выделяется такая теорема: биссектриса внутреннего (внешнего) угла C треугольника ABC делит противоположную сторону внутренним (внешним) образом в отношении, равном отношению прилежащих сторон; на рис. 5

AE:BE=AE':BE'=AC:BC.

Рис. 5

Все три медианы пересекаются в точке M (рис. 6), называемой центроидом треугольника ABC (который также является центром масс для тонкой треугольной пластины). Каждая медиана делится точкой M в отношении 2:1, считая от соответствующей вершины треугольника. Высоты треугольника (или их продолжения) также пересекаются в одной точке H - ортоцентре треугольника (рис. 7).

Рис. 6

Рис. 7

Пусть высоты треугольника ABC пересекают соответственные стороны (или их продолжения) в точках A₀, B₀, C₀ (рис. 7). Треугольник A₀B₀C₀ называется ортоцентрическим для треугольника ABC или, коротко, его ортотреугольником. Оказывается, высоты треугольника являются биссектрисами его ортотреугольника. Если треугольник ABC остроугольный, то ортотреугольник A₀B₀C₀ вписан в треугольник ABC: вершины A₀B₀C₀ лежат на соответствующих сторонах треугольника ABC. Справедлива замечательная теорема: среди всех треугольников, вписанных в остроугольный треугольник, ортотреугольник имеет наименьший периметр.

Теоремы о пересечении высот, медиан, биссектрис треугольника в действительности можно получить из общей «теоремы Чевы» (Д. Чева - итальянский математик, (1648-1734)): отрезки AQ, BR, CP, соединяющие вершины треугольника ABC с точками на противолежащих сторонах (рис. 8), пересекаются в одной точке D тогда, и только тогда, когда