Произведение тригонометрических функций выражается через сумму следующим образом:

sinφ₁·cosφ₂ = 1/2[sin(φ₁+φ₂) + sin(φ₁-φ₂)],

sinφ₁·sinφ₂ = 1/2[cos(φ₁-φ₂) - cos(φ₁+φ₂)],

cosφ₁·cosφ₂ = 1/2[cos(φ₁+φ₂) + cos(φ₁-φ₂)].

Производные тригонометрических функций выражаются через тригонометрические функции (здесь и всюду в дальнейшем мы заменим переменную φ на x):

(sin x)' = cos x, (cos x)' = - sim x, (tg x)' = 1/cos²x, (ctg x)' = - 1/sin²x.

При интегрировании тригонометрических функций получаются тригонометрические функции или их логарифмы ( 0 < x < π/2, C - абсолютная постоянная):

Основные тригонометрические функции u=cos x и v = sin x, как мы видели, связаны следующими соотношениями:

u' = -v, v' = u.

Дифференцируя вторично эти равенства, получаем:

u" = -v' = -u, v" = u' = -v.

Таким образом, функции u и v от переменной x могут рассматриваться как решения одного и того же (дифференциального) уравнения y"+y=0.

Это уравнение, а точнее - его обобщение, содержащее положительную постоянную k², y"+k²y=0 (решениями которого, в частности, служат функции cos kx и sin kx), постоянно встречается при изучении колебаний, т.е. при изучении конструкций механизмов, совершающих или производящих колебательные движения.

Функция cos x может быть представлена в виде бесконечного ряда 1-x²/2!+x⁴/4!-x⁶/6!.... Если взять несколько первых членов этого ряда, мы получим приближения функции cos x с помощью многочленов. На рис. 9 показано, как графики этих многочленов с ростом их степени все лучше приближают функцию cos x.

Рис. 9

Название «синус» происходит от латинского sinus - «перегиб», «пазуха» - представляет собой перевод арабского слова «джива» («тетива лука»), которым обозначали синус индийские математики. Латинское слово tangens означает «касательная» (см. рис. 6; AB - касательная к окружности). Названия «косинус» и «котангенс» представляют собой сокращения терминов complementi sinus, complementi tangens («синус дополнения», «тангенс дополнения»), выражающих тот факт, что cos φ и ctgφ равны соответственно синусу и тангенсу аргумента, дополнительного к φ до π/2: cosφ = sin(π/2-φ), ctgφ=tg(π/2-φ).

ТРИГОНОМЕТРИЯ

Тригонометрия - математическая дисциплина, изучающая зависимость между сторонами и углами треугольника.

Казалось бы, тригонометрию можно считать лишь частью геометрии, однако тригонометрические функции, с помощью которых связываются элементы треугольника, - это объект изучения математического анализа, а тригонометрические уравнения - уравнения, в которых неизвестные являются аргументами тригонометрических функций, - изучаются методами алгебры. Таким образом, тригонометрия - раздел математики, использующий достижения других важных ее разделов.

Основные формулы тригонометрии задаются теоремой синусов (см. Синусов теорема) и теоремой косинусов (см. Косинусов теорема). Кроме них часто применяются теорема тангенсов, открытая в XV в. немецким математиком И. Региомонтаном,

и формулы К. Мольвейде (немецкого математика конца XVIII - начала XIX в.):

Здесь через a,b,c обозначены длины сторон треугольника, а через A,B,C - соответственно величины противоположных им углов.

Помимо теоремы косинусов углы треугольника могут быть также выражены через его стороны с помощью формул:

где p - полупериметр треугольника.

Площадь треугольника помимо формулы Герона (см. Герона формула) может быть выражена с помощью тригонометрии через стороны и углы треугольника еще несколькими способами:

S = 1/2 ab sin C,

Тригонометрия возникла из практических нужд человека. С ее помощью можно определить расстояние до недоступных предметов и, вообще, существенно упрощать процесс геодезической съемки местности для составления географических карт.

Зачатки тригонометрических познаний зародились в древности. На раннем этапе тригонометрия развивалась в тесной связи с астрономией и являлась ее вспомогательным разделом.

Древнегреческие ученые разработали «тригонометрию хорд», изложенную выдающимся астрономом Птолемеем (II в.) в его работе «Альмагест». Птолемей вывел соотношения между хордами в круге (выражавшиеся словесно ввиду отсутствия в то время математической символики), которые равносильны современным формулам для синуса половинного и двойного угла, суммы и разности двух углов:

Важный шаг в развитии тригонометрии был сделан индийскими учеными, которые заменили хорды синусами. Это нововведение перешло в VIII в. в арабоязычную математику стран Ближнего и Среднего Востока, где тригонометрия постепенно превратилась из раздела астрономии в самостоятельную математическую дисциплину. Помимо синуса были введены и другие тригонометрические функции, и для них были составлены таблицы.

Общепринятые понятия тригонометрии, а также обозначения и определения тригонометрических функций сформировались в процессе долгого исторического развития. Если, например, при введении основных тригонометрических понятий представляется естественным принимать радиус тригонометрического круга (рис. 1) равным единице, то эта, казалось бы, простая идея была усвоена только в Х-XI вв. Если мы понимаем под синусом угла α в прямоугольном треугольнике OBC отношение катета BC (линия синуса) к гипотенузе OC (т.е. радиусу единичной окружности), то в средние века термином «синус» обозначали саму линию синуса BC. То же относится к косинусу, под которым понималась линия косинуса OB, и другим тригонометрическим функциям.

Рис. 1

Лишь постепенно, благодаря введению новых понятий, а также в результате разработки и усовершенствования математической символики, тригонометрия приобрела современный вид, наиболее удобный для решения вычислительных задач. Окончательный вид она приобрела в XVIII в. в трудах Л. Эйлера.