I2:
(«правило трех точек»). Если ненулевые векторы
и
не параллельны, то их сумму удобно находить с помощью правила параллелограмма (рис. 4).
Рис. 3
Рис. 4
II. Основные свойства суммы векторов выражают следующие 4 равенства (справедливые для любых векторов
,
,
):
II1.
.
II2.
.
II3.
.
II4.
.
Заметим еще, что сумма нескольких векторов находится последовательным нахождением суммы двух из них. Например:
.
При этом, в каком бы порядке мы ни складывали заданные векторы, результат (как это вытекает из свойств, названных в пунктах II1, и II2) всегда будет одним и тем же. Например:
.
Далее, геометрически сумма нескольких векторов
может быть получена следующим образом: надо направленные отрезки, являющиеся представителями этих векторов, последовательно отложить друг за другом (т.е. так, чтобы начало второго направленного отрезка совпадало с концом первого, начало третьего – с концом второго и т.д.); тогда вектор
будет иметь своим представителем «замыкающий» направленный отрезок, идущий от начала первого к концу последнего (рис. 5). (Заметим, что если при таком последовательном откладывании получается «замкнутая векторная ломаная», то
.)
Рис. 5
III. Умножение вектора на число. Пусть
- ненулевой вектор и k - отличное от нуля число. Через
обозначается вектор, определяемый следующими двумя условиями: а) длина вектора
равна
; б) вектор
параллелен вектору
, причем его направление совпадает с направлением вектора
при k>0 и противоположно ему при k<0 (рис. 6). Если справедливо хотя бы одно из равенств
,
k = 0, то произведение
считается равным
. Таким образом, произведение
определено для любого вектора
и любого числа k.
Рис. 6
Следующие 4 равенства (справедливые для любых векторов
,
и любых чисел
k, l) выражают основные свойства операции умножения вектора на число:
III1.
.
III2.
.
III3.
.
III4.
.
Из этих свойств вытекает ряд дальнейших фактов, связанных с рассмотренными операциями над векторами. Отметим некоторые из них, часто применяемые при решении задач.
а) Если M - такая точка отрезка AB, что |AM| : |BM| = k, то для любой точки O справедливо равенство
, в частности если M - середина отрезка AB, то
.
б) Если M - точка пересечения медиан треугольника ABC, то
; кроме того, для любой точки O справедливо равенство
(обратные теоремы также справедливы).
в) Пусть M - точка прямой l и
- ненулевой вектор, параллельный этой прямой. Точка A в том и только в том случае принадлежит прямой l, если
(где k - некоторое число).
г) Пусть M - точка плоскости α и
,
- ненулевые и непараллельные между собой векторы, параллельные этой плоскости. Точка A в том и только в том случае принадлежит плоскости α, если вектор
выражается через
и
, т.е.
.
Наконец, отметим еще свойство размерности, выражающее тот факт, что пространство трехмерно.
IV. В пространстве существуют такие три вектора
,
,
, что ни один из них не выражается через два других; любой четвертый вектор
выражается через эти три вектора:
.
Например, если
,
,
- три ненулевых вектора, направленных вдоль ребер параллелепипеда, исходящих из одной вершины, то эти векторы
,
,
обладают свойством IV (рис. 7).
Рис. 7
V. Скалярное произведение
векторов
и
определяется равенством:
