S₁ = 1, S₂ = 1 + 1/2,

S₄ = S₂ + (1/3 + 1/4) > S₂ + (1/4 + 1/4) = 1 + 1/2,

S₈ = S₄ + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) > S₄ + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8) = 1 + 3/2.

Продолжая эти рассуждения, приходим к выводу, что сумма 2^k членов гармонического ряда больше, чем 1 + 2/k. Отсюда следует, что частичные суммы гармонического ряда неограниченно возрастают, т.е. гармонический ряд является расходящимся (см. Ряд). Однако этот рост идет очень медленно. Л. Эйлер, изучавший свойства гармонического ряда, нашел, что

S₁₀₀₀ ≈ 7,48, а S_1000000 ≈ 14,39.

Более того, Эйлер установил замечательную зависимость для частичных сумм гармонического ряда, показав, что существует предел разности S_n - ln n, т.е.

.

Число C в его честь называется постоянной Эйлера, она приближенно равна 0,5772 (сам Эйлер, исходя из других соображений, вычислил C с точностью до 15 знаков).

Представим себе «лесенку», сложенную из n одинаковых кирпичей, следующим образом: второй кирпич подложен под первый так, что центр тяжести первого приходится на правый край второго, затем под эти два кирпича подложен третий так, что общий центр тяжести первых двух приходится на правый край третьего и т.д. (рис. 1). У такой «лесенки» центр тяжести проецируется в точку A, следовательно, «лесенка» не упадет. Если длина кирпича l, то 1-й окажется сдвинутым относительно 2-го на l/2, 2-й окажется сдвинутым относительно 3-го на l/4, (k+1)-й относительно k-го на l/2k, и вся «лесенка» будет сдвинута вправо на

Δ_n = l/2(1 + 1/2 + 1/3 +...+ 1/(n-1)).

Рис. 1

Выражение в скобках есть частичная сумма S_n-1 гармонического ряда. Следовательно, указанным способом можно сложить «лесенку», сдвинутую сколь угодно далеко вправо. Однако, как было замечено, Δ_n растет очень медленно. Например, если сложить 1000 кирпичей, то Δ₁₀₀₀ составит всего лишь 3,8 длины кирпича.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

Геометрической прогрессией называют последовательность (b_n), у которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное (для данной прогрессии) число q ≠ 0. Число q называют знаменателем прогрессии. Другими словами, геометрическая прогрессия – это последовательность, заданная по правилу: b₁ и q даны, b_n+1 = q·b_n при n ≥ 1. Случай, когда b₁ = 0, малоинтересен: получается последовательность из одних нулей. Поэтому в определение геометрической прогрессии часто включают условие b₁ ≠ 0.

Каждый член геометрической прогрессии с положительными членами, начиная со второго, равен среднему геометрическому последующего, и предыдущего членов:

. Этот факт отражается в названии рассматриваемой последовательности: геометрическая прогрессия. Верно и более общее свойство:  при n > k.

Справедливы следующие формулы (через S_n обозначена сумма первых n членов геометрической прогрессии):

b_n = b₁q^n-1, (1)

 при q ≠ 1.   (2)

При q = 1 геометрическая прогрессия одновременно является и арифметической прогрессией, при этом S_n = nb₁.

При |q|<1 существует предел суммы первых n членов геометрической прогрессии при n → ∞, называемый суммой бесконечно убывающей прогрессии. Из формулы (2) нетрудно усмотреть, что этот предел равен S = b₁/ (1 -q). (3)

В своих сочинениях древнегреческий ученый Архимед неоднократно возвращался к вопросу о вычислении сумм прогрессий. Например, в трактате «О квадратуре параболы» он рассматривает задачу, эквивалентную задаче о нахождении суммы бесконечно убывающей прогрессии a,b,c,d,e,..., знаменатель которой равен 1/4. Архимед решает эту задачу так: из определения прогрессии имеем a = 4b, b = 4c, c = 4d, ..., поэтому

b + c + d + e + ...1/3(b + c + d + e + ...) =

4/3(b + c + d + e + ...) = 1/3(4b + 4c + 4d + 4e + ...) =

1/3(a + b + c + d + ...)

откуда b + c + d + e + ... = 1/3 a и a + b + c + d + e + ...= 4/3 a.

Если q > 1, то члены геометрической прогрессии быстро растут. В результате при сравнительно небольших номерах n получаются числа-гиганты. С древнейших времен известны задачи и легенды, связанные с неправдоподобной на первый взгляд скоростью роста членов геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16 …. Одна из наиболее известных легенд – легенда об изобретателе шахмат.

Индийский царь Шерам призвал к себе изобретателя шахмат (которого звали Сета) и предложил, чтобы он сам выбрал себе награду за создание интересной и мудрой игры. Царя изумила скромность просьбы, услышанной им от изобретателя: тот попросил выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую два, за третью еще в два раза больше, т. е. четыре, за четвертую – еще в два раза больше и т.д. Эта задача привлекла внимание Л. Н. Толстого. Приведем часть его расчета (шахматная доска здесь названа шашечницей): «Клеток в шашечнице 8 с одной стороны и 8 с другой; 8 рядов по 8 = 64

на 1-ю 1,     на 33-ю 4 294 967 296

на 2-ю 2,     на 34-ю 8 589 934 592

на 3-ю 4,     на 35-ю 17 179 869 184

на 4-ю 8,     на 36-ю 34 359 738 368

………………………………………………

на 62-ю    2 305 843 009 213 693 952

на 63-ю    4 611 686 018 427 387 904

на 64-ю    9 223 372 036 854 775 808

Если 40 000 зерен в одном пуде, то на одной последней клетке вышло 230 584 300 921 369 пудов». Общее число зерен составит число 18 446 744 073 709 551 615.

Формулы (1), (2), (3) остаются справедливыми и для геометрических прогрессий с комплексными числами. Например, с помощью формулы (3) для прогрессии, у которой

q = b₁ = cos φ + i sin φ,

и формулы Муавра

(cos φ + i sin φ)ⁿ = cos nφ + i sin nφ

легко получить формулы

,

.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ЭКСТРЕМУМ

Задачи, где требуется определить условия, при которых некоторая величина принимает наибольшее и наименьшее значение, принято называть задачами «на экстремум» (от латинского слова extremum - «крайний») или задачами «на максимум и минимум» (от латинских maximum и minimum – соответственно «наибольшее» и «наименьшее»). Такие задачи часто встречаются в технике и естествознании, в повседневной деятельности людей.

Как из круглого бревна выпилить прямоугольную балку с наименьшим количеством отходов? Каких размеров должен быть ящик, чтобы при заданном расходе материала его объем был наибольший? В каком месте следует построить мост через реку, чтобы дорога, проходящая через него и соединяющая два города, была кратчайшей?

Эти задачи (им легко можно придать геометрический вид) имеют большое практическое значение. С их помощью можно решить важный во всяком деле вопрос, как, по словам русского математика П. Л. Чебышева, «располагать средствами своими для достижения по возможности большей выгоды». Уметь решать подобные задачи очень важно, и поэтому они привлекают большое внимание математиков.