Человек, который впервые слышит о четырехмерном пространстве, готов возразить: «Но ведь такого же не бывает, не может быть четырех прямых, которые друг другу перпендикулярны!». Есть и другие парадоксы четвертого измерения. Если, например, на плоскости имеется кольцо (оболочка), а внутри - кружок, то, как бы мы ни двигали этот кружок по плоскости, вынуть его из этой оболочки, не разрывая ее, невозможно. Но стоит только выйти в третье измерение, и кружок легко вынуть из кольца, подняв его вверх, над плоскостью. Аналогично дело обстоит и в пространстве. Если имеется сфера (оболочка), внутри которой заключен шарик, то, не прорывая оболочку, невозможно вынуть из нее этот шарик. Но если бы существовало четвертое измерение, то можно было бы «поднять» шарик над трехмерным пространством в направлении четвертого измерения, а затем положить его снова в трехмерное пространство, но уже вне оболочки. И то, что это сделать никому не удается, приводят как довод против существования четвертого измерения. Довод ошибочен, так как в нем спутаны два вопроса.

Первый вопрос: имеется ли в реальном пространстве четвертое измерение? Ответ на этот вопрос отрицателен.

Второй вопрос: можно ли рассматривать четырехмерное пространство абстрактно, математически? Ответ утвердителен.

Нет ничего нелогичного или противоречивого в том, чтобы рассматривать четверки чисел (x₁,x₂,x₃,x₄), исследовать свойства этих «четырехмерных точек», составлять из них фигуры, доказывать теоремы, постепенно строя таким образом геометрию четырехмерного (или, вообще, n-мерного) пространства. Но математическая непротиворечивость n-мерной геометрии еще недостаточна для суждения о ценности этой теории. В чем же состоит польза многомерных пространств? Где они применяются? Зачем понадобилось расширять представления о пространстве от реального трехмерного мира до столь далеких абстракций, которые нелегко и не сразу укладываются в сознании?

Для ответа на эти вопросы рассмотрим два примера, которые подведут нас к n-мерной геометрии.

Пример 1. Сумма n чисел равна единице. Каковы должны быть эти числа, чтобы сумма их квадратов была наименьшей?

Решение. Получим ответ на поставленный вопрос геометрическим путем, рассматривая сначала случай n = 2, затем n = 3, а потом обсудим ситуацию при n > 3.

Итак, пусть сначала n = 2. Иначе говоря, рассматриваются числа x,y, удовлетворяющие условию x + y = 1, и требуется найти, в каком случае сумма квадратов x² + y² будет наименьшей.

Уравнение x + y = 1 определяет на координатной плоскости прямую l (рис. 4). Рассмотрим окружность S с центром в начале координат, которая касается этой прямой (точка A). Если точка M(x;y) прямой l отлична от A, то она лежит вне окружности S и потому |OM| больше радиуса r этой окружности, т. е. x² + y² > r². Если же M = A, то сумма x² + y² равна r², т.е. именно для точки A эта сумма принимает наименьшее значение. Точка A имеет координаты x = y = 1/2; это и есть решение поставленной алгебраической задачи (при n = 2).

Рис. 4

Пусть теперь n = 3. Уравнение x + y + z = 1 определяет в пространстве плоскость α. Рассмотрим сферу S с центром в начале O, касающуюся этой плоскости в некоторой точке A (рис. 5). Для любой точки M ∈ α, отличной от A, ее расстояние от точки O больше радиуса r сферы S, |OM|² > r², и потому x² + y² + z² > r², а при M = A имеем x² + y² + z² = r². Таким образом, именно для точки A сумма x² + y² + z² принимает наименьшее значение. Точка A имеет равные координаты: x = y = z (поскольку при повороте пространства, переставляющем оси координат: x → y; y → z, z → x, и плоскость α, и сфера S переходят в себя, а потому их общая точка остается неподвижной). А так как x + y + z = 1, то точка A имеет координаты x = y = z = 1/3; это и есть решение поставленной задачи (для n = 3).

Рис. 5

Рассмотрим, наконец, произвольное n; рассуждения будем вести в n-мерном пространстве, точками которого являются последовательности (x₁,x₂,...,x_n), состоящие из n действительных чисел. Уравнение x₁ + x₂ + ... + x_n = 1 определяет в этом пространстве «плоскость» α, имеющую размерность n-1 (например, при n = 3, т.е. в трехмерном пространстве, такое уравнение определяет плоскость размерности 2, т.е. на единицу меньшей размерности, чем все пространство). Математики называют плоскости, имеющие размерность n-1, гиперплоскостями в n-мерном пространстве. Рассмотрим сферу S с центром в начале координат O, касающуюся гиперплоскости α в некоторой точке A. Все точки гиперплоскости α, кроме A, лежат вне сферы S, т.е. находятся от начала координат O на расстоянии, большем, чем радиус r сферы S, а точка A находится от O на расстоянии, равном r. Следовательно, сумма x₁² + x₂² + ... + x_n² принимает в точке A наименьшее значение по сравнению со всеми другими точками гиперплоскости α. Заметим теперь, что все координаты точки A равны между собой: x₁ = x₂ = ... = x_n (поскольку поворот пространства, переставляющий оси x₁ → x₂, ..., x_n-1 → x_n, x_n → x₁, переводит гиперплоскость α в себя и сферу S тоже в себя, а потому оставляет точку A неподвижной), откуда x₁ = x₂ = ... = x_n = 1/n. Итак, при x₁ + x₂ + ... + x_n = 1 сумма квадратов x₁² + x₂² + ... + x_n² принимает наименьшее значение для x₁ = x₂ = ... = x_n = 1/n.

Разумеется, это геометрическое решение читатель может признать корректным лишь в случае, если он уже владеет понятиями n-мерной геометрии, но характер этого решения и польза n-мерной геометрической интерпретации для рассмотренной алгебраической задачи очевидны.

Пример 2. На три завода З₁,З₂,З₃ (рис. 6) нужно завезти сырье одинакового вида, которое хранится на двух складах C₁,C₂ в соответствии с данными, указанными в таблице.

Наличие сырья

Потребность в сырье

C₁

C₂

З₁

З₂

З₃

20т

25т

10т

15т

20т

Требуется найти наиболее выгодный вариант перевозок, т.е. вариант, для которого общее количество тонно-километров будет наименьшим.