Рис. 5

Гиперболические функции находят применение в электротехнике, строительной механике, сопротивлении материалов и др. С помощью гиперболических функций описывается, например, прогиб каната (цепи, проволоки, веревки); такая кривая называется цепной линией.

ГРАФИК

График функции – один из способов ее представления. Представить ту или иную функцию можно по-разному, например словесным описанием. Из физики известно, что при равномерном движении пройденный путь прямо пропорционален времени, прошедшему с момента начала пути. Эта фраза описывает путь как линейную функцию времени.

В руках у электрика можно увидеть таблицу, где для проводов различных диаметров указаны предельно допустимые значения силы тока, на парте школьника – таблицы логарифмов и тригонометрических функций... Все это примеры табличного представления функций. В выкладках и расчетах функции обычно задают с помощью формул.

У каждого способа представления функции есть свои достоинства. Словесный наиболее прост и доходчив, если, конечно, функцию удается описать простыми фразами. Формулы часто используют потому, что с ними удобно проводить вычисления, их можно преобразовывать и анализировать, выясняя свойства функции. Табличный способ предпочитают тогда, когда трудно вычислить значения функции или когда она может принимать лишь несколько отдельных значений (здесь убедителен пример с проводами: по действующим в промышленности стандартам их диаметры могут равняться только нескольким определенным значениям).

Графический способ представления функции – самый наглядный. График функции – это линия, дающая цельное представление о характере изменения функции по мере изменения ее аргумента. А именно, график функции y=f(x) - это множество точек (x,y) на координатной плоскости, где координате x придаются всевозможные значения из области определения функции, и для каждою такого x значение y определяется функциональной зависимостью y=f(x). Функциональная зависимость предполагает, что каждому значению x из области определения функции соответствует одно, и только одно, значение y. Отсюда следует, что любой перпендикуляр, восставленный к оси абсцисс в какой-либо точке из области определения функции, пересекает ее график лишь в одной точке. Поэтому линии, изображенные на рис. 1, не могут быть графиками никаких функций, а линия, изображенная на рис. 2, есть график некоторой функции.

Рис. 1

Рис. 2

Благодаря своей наглядности графический способ задания функций часто сопутствует другим способам. Выведя формулу какой-либо функциональной зависимости, исследователь вслед за этим строит еще и ее график. На многих электронных вычислительных машинах кроме печатающего устройства, выдающего результаты расчетов в виде колонки цифр, есть и графопостроитель, представляющий те же результаты в форме графиков. Многие приборы выдают показания именно в виде графиков. Например, барограф вычерчивает график атмосферного давления как функции времени, кардиограмму можно назвать графиком работы сердца.

Графики большинства функций имеют названия, сходные с названием самой функции. График функции синус называют синусоидой, график функции тангенс – тангенсоидой, график логарифмической функции – логарифмикой и т.д.

Чтобы построить эскиз графика функции, предварительно проводят ее исследование. Оно ведется поэтапно следующим путем.

Находят область определения функции и область ее значений. Это определяет разметку координатных осей, в которых строится график.

Находят промежутки непрерывности функции и определяют точки ее разрыва. В точках бесконечного разрыва проводят вспомогательные (например, пунктирные) прямые -  асимптоты, к которым будет приближаться график функции, уходя в бесконечность того или иного знака. На эскизе указывают такое поведение графика в точках разрыва.

Далее вычисляют первую производную функции и отыскивают точки, в которых производная не существует или равна нулю (критические точки), а также находят участки возрастания и убывания функции. Если на некотором промежутке производная функции положительна, то функция здесь возрастает. Если отрицательна – функция убывает на этом участке.

Находят экстремумы функции. Точки экстремума входят в число критических. Для непрерывных функций, имеющих производную по обе стороны от критической точки, далее исследуют знак производной. Если она положительна слева от критической точки и отрицательна справа, то функция в этой точке достигает максимума. Если производная отрицательна слева от критической точки и положительна справа, то функция в этой точке имеет минимум.

Находят участки, где функция выпукла вверх и где она выпукла вниз (см. Выпуклые функции). Если на некотором промежутке вторая производная функция отрицательна, то функция здесь выпукла вверх. Если положительна – функция выпукла вниз на этом участке.

Исследуя функцию, находят также точки перегиба функции, т.е. такие точки, по обе стороны от которых направление выпуклости функции неодинаково.

Находят уравнения асимптот функции, если они существуют, и проводят асимптоты на координатной плоскости.

Теперь остается начертить сам график: соединить нанесенные на координатную плоскость точки линией, учитывая ее возрастание или убывание, выпуклость вверх или вниз, а если есть асимптоты – подвести к ним ветви графика, показывая их сближение с асимптотами.

Чтобы уточнить график, нередко вычисляют значения функции в каких-либо точках, отыскивают точки пересечения графика с координатными осями и т.д. В некоторых случаях график функции можно построить по заданной его части или по графику другой функции с помощью линейных преобразований: параллельного переноса, растяжения (или сжатия), преобразования симметрии (см. Геометрические преобразования).

С помощью параллельного переноса вдоль оси Ox или оси Oy по заданному графику функции y=f(x) можно построить графики функций y = f(x+a) (рис. 3) и y = f(x)+b (рис. 4). С помощью растяжения или сжатия по оси Ox или оси Oy можно построить график функции y = f(kx) (рис. 5) и y = mf(x) (рис. 6). Для построения графика функции y = mf(kx+a)+b последовательно применяют вышеуказанные преобразования. График функции g = y(x) = f^-1(x), обратный функции y=f(x), симметричен относительно биссектрисы первого координатного угла (рис. 7). График функции y = -f(x) может быть получен из графика функции y=f(x) отражением относительно оси Ox (рис. 8), а график функции f(-x) - из графика функции f(x) отражением относительно оси Oy (рис. 9). График функции y = |f(x)| получается отражением относительно оси Ox частей графика y=f(x) при y < 0 (рис. 10).

Если y=f(x) периодическая функция с периодом T, то достаточно построить часть ее графика для 0 ≤ x ≤ T, и тогда весь график функции получается переносом построенной части вдоль оси абсцисс на отрезки kT (рис. 11). График функции y = 1/f(x) получается из графика функции y=f(x) заменой каждой ординаты y величиной ей обратной 1/y (рис. 12).

Графики функций часто используются для приближенного решения уравнений (например, f(x) = 0 в точках x₁,x₂,x₃, рис. 13), систем уравнений и неравенств. Например, при решении уравнения вида f(x) = g(x) строятся графики функций y=f(x) и y = g(x). Абсциссы точек пересечения этих графиков являются корнями уравнения (рис. 14). Те участки оси Ox на которых график y=f(x) лежит выше графика y = g(x) являются решениями неравенства f(x) > g(x) (рис. 14).