О встречах с О. Ю. Шмидтом сохранились воспоминания советских академиков П. С. Александрова, Б. Н. Делоне, А. Н. Колмогорова. Академик П. С. Александров писал: «Обилие – вот, пожалуй, то слово, которое приходит, когда думаешь о личности О. Ю. Шмидта. Обилие ума и обилие сердца, полное развитие человеческой личности в ее интеллектуальном, эстетическом, волевом, эмоциональном и социальном аспектах».

------------------------------------------

Например, первая из этих скобок представляет собой условную запись поворота на угол 2π/3, вторая обозначает симметрию относительно прямой, проходящей через вершину 1.

Скобки вида (1) называются подстановками из трех элементов 1, 2, 3. Перемножение подстановок (соответствующее композиции движений) легко проследить. Например, при первой из подстановок (1) вершина 1 переходит в 2, а при второй подстановке (1) эта вершина 2 переходит в 3, т. е. в результате последовательного выполнения этих подстановок вершина 1 переходит в 3. Проследив это и для других вершин, находим, что произведение первой и второй подстановок (1), т. е. результат их последовательного выполнения, представляет собой 3-ю из этих подстановок.

Еще одним примером конечной группы может служить группа Z_m, элементами которой являются вычеты по модулю m (см. Сравнения).

Например, группа Z₂ состоит из двух элементов, один из них – множество всех четных чисел, а другой – множество всех нечетных. Если первый из этих элементов обозначить через 0, а второй – через 1 (т.е. 0 - «чет», 1 - «нечет»), то в соответствии с правилом сложения по модулю 2 мы имеем: 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=0. Можно это записать в виде «таблицы сложения» в группе Z₂:

Расскажем о способах, которыми задаются различные группы. Наиболее известно описание группы с помощью образующих и соотношений. Системой образующих некоторой группы G называется такое подмножество ее элементов, что любой элемент группы G можно представить в виде произведения некоторых степеней этих образующих элементов. Рассмотрим, например, паркет, изображенный на рис. 2, и обозначим через G группу всех самосовмещений этого паркета (без учета цветной раскраски). В частности, в группе G содержится симметрия s относительно точки A и поворот g на 2π/3 вокруг точки B. Можно проверить, что любое самосовмещение рассматриваемого паркета представляется в виде произведения (композиции) некоторых степеней элементов s и g (например, поворот вокруг точки D на 2π/3 записывается в виде g∘s∘g²∘s∘g, а параллельный перенос на вектор

 - в виде s∘g²∘s∘g. Иначе говоря, s и g составляют систему образующих для группы G. Между этими образующими есть равенства, которым эти образующие удовлетворяют: s²=e, g³=e и др. Алгебраически группа G полностью определяется указанием образующих s,g и соотношений между ними.

Рис. 2

В топологии, например, рассматриваются различные узлы (рис. 3) и для каждого узла определяется некоторая группа, называемая группой узла. Если узел изображен так, как на рис. 4 (с разрывами, показывающими пространственное расположение частей нити узла друг относительно друга), то за систему образующих группы узла можно принять дуги a₁,a₂,a₃,a₄,a₅, остающиеся неразорванными при таком изображении, а соотношения между этими образующими выписываются для каждой точки перекрещивания нитей узла (для этого надо задать какое-нибудь направление обхода на узле и выписывать соотношения по правилу, показанному на рис. 5). Так, для простейшего узла (его называют трилистником, рис. 6) его группа имеет три образующие a₁,a₂,a₃, между которыми имеются соотношения:

a₂a₃^-1a₂^-1a₁ = e, a₃a₁^-1a₃^-1a₂ = e, a₁a₂^-1a₁^-1a₃ = e.

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Устанавливается, что эта группа алгебраически отлична от группы узла на рис. 7, и различие этих групп служит математическим доказательством того, что узел на рис. 6 невозможно «развязать», т.е., деформируя его, превратить в ровную линию без узлов (рис. 7). На рис. 8 и 9 изображены узлы, составленные из 2 или 3 замкнутых нитей. И в этих случаях, рассмотрев группу узла, можно доказать, что эти узлы не могут быть развязаны, т.е. нити, составляющие узел, невозможно развести, не разрывая их.

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

Мы рассказали о некоторых применениях понятия группы в различных вопросах алгебры и геометрии и упомянули о том, что в любой из областей знания, где встречаются группы, можно применять теоремы о группах (один раз доказав эти теоремы, исходя из аксиом группы). В чем же состоят эти теоремы? Рассмотрим одну из них.

Прежде всего приведем определение подгруппы. Пусть G – некоторая группа и H - подмножество множества G. Если H само является группой (относительно той операции умножения, которая имеется во всей группе G), то H называется подгруппой группы G. Например, Z (множество всех целых чисел) является подгруппой группы R всех действительных чисел с операцией сложения. И еще один пример: группа G самосовмещений орнамента на рис. 2 является подгруппой группы всех движений плоскости. Это пример так называемой кристаллографической группы. Некоторая подгруппа G' группы всех движений плоскости называется кристаллографической группой, если существует такой многоугольник M (фундаментальная область группы G'), что всевозможные многоугольники, в которые переходит M при движениях, принадлежащих группе G', заполняют всю плоскость и попарно не имеют общих внутренних точек. Для группы G фундаментальными областями являются параллелограммы, которые, будто кристаллики, заполняют плоскость (рис. 10).

Рис. 10

Кристаллографические группы можно рассматривать и в пространстве. Русский кристаллограф XIX в. Е. С. Федоров, основываясь на понятии группы, дал полное перечисление выпуклых многогранников, описывающих все формы кристаллов, которые служат фундаментальными областями кристаллографических групп в пространстве.

Вспомним теперь, как определяются вычеты по некоторому модулю m (см. Сравнения). Через H_m обозначим подмножество множества Z всех целых чисел, состоящее из чисел, делящихся на m. Два целых числа a₁ и a₂ называются имеющими одинаковые остатки при делении на m, если их разность делится на m, т.е. если (a₂ - a₁) ∈ H_m. Все числа, имеющие один и тот же остаток при делении на m, составляют один смежный класс относительно подгруппы H_m ⊂ Z. Таким образом, всего имеется m смежных классов по этой подгруппе.

Сказанное можно применить и к любой другой группе G, в которой задана некоторая подгруппа H. Два элемента a₁,a₂ группы G считаются принадлежащими одному смежному классу по подгруппе H, если их разность a₂ - a₁ (или элемент a₁^-1a₂, если групповой операцией является умножение) принадлежит подгруппе H. Тем самым вся группа G «расслаивается» на смежные классы по подгруппе H. Все смежные классы содержат одинаковое количество элементов (конечное или бесконечное) – столько же, сколько их имеется в подгруппе H. Поэтому если G - конечная группа, содержащая g элементов, то справедливо соотношение g = kh, где h - число элементов подгруппы H, а k - число смежных классов, - в этом состоит одна из простейших теорем теории групп.