КАРЛ ФРИДРИХ ГАУСС

(1777-1855)

Математические вычисления заменили Гауссу обычные детские игры. Он делил единицу на все простые числа p из первой тысячи подряд, подмечая, что десятичные знаки рано или поздно начинают повторяться. Рассмотрев большое количество примеров, Гаусс доказал, что число цифр в периоде не превосходит p-1 и всегда является делителем p-1. Он интересовался случаями, когда период в точности равен p-1, и это постепенно привело его к первому открытию.

Ученый доказал, что правильный n-угольник, где n – число простое, может быть построен циркулем и линейкой в том, и только в том, случае, когда n имеет вид

. Например, если k = 0,1,2,3, то правильные трех-, пяти-, семнадцати- и 257-угольники можно построить циркулем и линейкой, а семиугольник – нельзя. Еще древние математики (в их числе Архимед) умели строить циркулем и линейкой правильные n-угольники при n = 3,4,5,6 и вообще при n = 2^k; 2^k·3; 2^k·5; 2^k·15, и только такие. Ученые безуспешно пытались построить правильный семиугольник, девятиугольник. А Гаусс дал полное решение проблемы, над которой трудились ученые в течение 2 тыс. лет.

С этого момента девятнадцатилетний Гаусс окончательно решил заниматься математикой (до этого он не мог сделать выбор между математикой и филологией). И всего через 9 дней в его дневнике появляется запись о втором открытии. Гаусс доказал так называемый квадратичный закон взаимности – один из основных в теории чисел. Этот закон открыл еще Л. Эйлер, но доказать его не смог.

С именем К. Ф. Гаусса связаны многие замечательные страницы в истории математики. Он дал доказательство основной теоремы алгебры (всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет корень). Гаусс создал теорию поверхностей. До него были изучены геометрии только на двух поверхностях: на плоскости (планиметрия Евклида) и на сфере (сферическая геометрия). Гаусс нашел способ построения геометрии на любой поверхности, определил, какие линии играют на поверхности роль прямых, как мерить расстояния между точками на поверхности и т.д. Теория Гаусса получила название внутренней геометрии. Он не опубликовал своих работ по неевклидовой геометрии и теории эллиптических функций. Эти результаты были открыты заново его младшими современниками: русским математиком Н. И. Лобачевским и венгерским математиком Я. Больяй – в первом случае и норвежским математиком Г. X. Абелем и немецким математиком К. Г. Якоби – во втором.

Гаусс занимался также астрономией, электромагнетизмом. Ему удалось вычислить орбиту малой планеты (астероида) Цереры. Решение этой сложной задачи принесло ученому известность, и он был приглашен заведовать кафедрой математики и астрономии, с которой была связана должность директора Геттингенской обсерватории. Этот пост Гаусс не покидал до конца жизни. Результаты своих исследований по астрономии Гаусс объединил в фундаментальном труде «Теория движения небесных тел».

------------------------------------------

В конце XVIII-начале XIX в. было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин Г. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число z = a + bi точкой M(a,b) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой M, а вектором

, идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании сложению и вычитанию комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами. Вектор  можно задавать не только его координатами a и b, но также длиной r и углом φ, который он образует с положительным направлением оси абсцисс. При этом a = r cos φ, b = r sin φ и число z принимает вид z = r(cos φ + i sin φ), который называется тригонометрической формой комплексного числа. Число r называют модулем комплексного числа z и обозначают |z|. Число φ называют аргументом z и обозначают Arg z. Заметим, что если z=0, значение Arg z не определено, а при z ≠ 0 оно определено с точностью до кратного 2π. Упомянутая ранее формула Эйлера позволяет записать число z в виде z = re^iφ (показательная форма комплексного числа).

Очень удобно выполнять умножение комплексных чисел в показательной форме. Оно производится по формуле

 т.е. при умножении модули перемножаются, а аргументы складываются.

Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функциями комплексного переменного, расширило область их применения. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости.

Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые. Н. И. Мусхелишвили занимался ее приложениями к теории упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев – к аэро- и гидродинамике, Н. Н. Боголюбов и B. C. Владимиров – к проблемам квантовой теории поля.

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ

Конические сечения – кривые, получающиеся при сечении кругового конуса (точнее – конической поверхности) плоскостью, не проходящей через его вершину.

Получающиеся при этом ограниченные фигуры (рис. 1) оказываются эллипсами, а неограниченные – гиперболами (если секущая плоскость пересекает обе полости конуса) или параболами (если секущая плоскость пересекается лишь с одной из его полостей). Все виды конических сечений легко получить с помощью карманного фонарика, направляя его под разными углами на ровную площадку. Правда, при этом у гиперболы мы увидим лишь одну ветвь. Для того чтобы увидеть вторую, нужно ось фонарика повернуть на 180°.

Рис. 1

Одинаковый способ получения различных конических сечений влечет и сходство уравнений, описывающих эти кривые. В секущей плоскости можно так выбрать систему координат, чтобы уравнение конического сечения имело вид y²=2px+λx², где p и λ - постоянные. Если p ≠ 0, то это уравнение определяет параболу при λ=0, эллипс – при λ < 0, гиперболу – при λ > 0. Геометрическое свойство конических сечений, содержащееся в приведенном уравнении, было известно древнегреческим ученым и послужило для Аполлония Пергского (примерно II в. до н.э.) поводом присвоить отдельным типам конических сечений названия, сохранившиеся до наших дней: греческое слово «парабола» означает «приложение» (так как в греческой геометрии превращение прямоугольника данной площади y² в равновеликий ему прямоугольник с данным основанием 2p называлось приложением данного прямоугольника к этому основанию); слово «эллипс» означает «недостаток» (приложение с недостатком), слово «гипербола» - «избыток» (приложение с избытком).

Очень похожи уравнения конических сечений в полярных координатах. Если за полюс взять фокус кривой, а за полярную ось – ось кривой, проходящую через фокус, то получим уравнение

.

Оно будет уравнением эллипса при 0≤ε≤1 (при ε=0 получим окружность). Парабола будет описываться этим уравнением при ε=1, а гипербола при ε>1. Число ε называется эксцентриситетом конического сечения, а p - его фокальным параметром.