где Δ – определитель матрицы, составленной из коэффициентов системы (см. Определитель), Δ_i - определители матриц, получаемых из предыдущей заменой i-го столбца на столбец из свободных членов, i=1,2. Далее, если Δ≠0, то система (5) имеет единственное решение:

Непосредственной подстановкой проверяется, что эта пара чисел является также и решением системы (3). По такому же правилу ищут решение системы n линейных уравнений с n неизвестными: если определитель системы Δ отличен от нуля, то система имеет единственное решение, причем

где Δ_i - определитель матрицы, получаемой из матрицы, составленной из коэффициентов системы, заменой в ней i-го столбца на столбец из свободных членов. Описанное правило решения линейных систем носит название правила Крамера. (Г. Крамер – швейцарский математик, 1704-1752).

Если Δ=0, то должны обращаться в нуль и Δ₁, и Δ₂ (иначе (5), а тем более (3) не имеет решений). При выполнении условия Δ=Δ₁=Δ₂=0, если соответственные коэффициенты при неизвестных и свободные члены уравнения системы (3) пропорциональны, то система будет иметь бесконечно много решений; если хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля (например, если a_1,2≠0), то x₁, можно взять любым, тогда

Осталось разобрать случай, когда система имеет вид

для которого ответ очевиден: если b₁=b₂=0, то решением является любая пара чисел, в противном случае решений нет.

В общем случае для системы из n уравнений с n неизвестными при Δ≠0 система имеет единственное решение, которое, как уже говорилось, можно найти по правилу Крамера. Если Δ=0 и хотя бы один из определителей Δ_i отличен от нуля, система несовместна (т.е. не имеет решений). В случае, когда Δ=Δ₁=Δ₂=...=Δ_n=0, система может либо быть несовместной, либо иметь бесконечно много решений. Установить, какой из этих двух случаев реализуется с помощью определителей, довольно сложно, и мы этим заниматься не будем. На практике для решения линейных систем правилом Крамера обычно не пользуются. Чаще всего для этих целей применяют метод Гаусса (см. Неизвестных исключение).

Как известно, линейное уравнение a₁x₁ + a₂x₂=b определяет прямую на плоскости (x₁;x₂) в случае, когда хотя бы один из коэффициентов a₁ и a₂ отличен от нуля. Если мы возьмем на плоскости две прямые то возможны следующие случаи (рис. 1): 1) прямые параллельны и не имеют общих точек, и тогда система не имеет решений; 2) прямые пересекаются, и тогда система имеет одно решение; 3) прямые совпадают, и тогда система имеет бесконечно много решений. Но две «случайно» взятые прямые, «как правило», будут пересекаться, т.е., как правило, система двух линейных уравнений с двумя переменными будет иметь одно решение. Любая точка некоторой прямой на плоскости соответствует решению «системы» (состоящей из одного уравнения), т.е., как правило, имеет место случай 3 (случай 2 невозможен, а случай 1 реализуется, если мы возьмем уравнение 0·x₁+0·x₂=b, где b≠0, не определяющее прямой на плоскости). Если же на плоскости взять 3 или больше прямых, то, вообще говоря, они могут все совпадать или проходить через одну точку, но, как правило, имеет место первый случай – у прямых нег общей точки.

Рис. 1

ЛИНИЯ

Первые линии, с которыми мы знакомимся, изучая математику, - это прямая и окружность. Затем изучаем гиперболу, параболу, различные спирали и другие кривые. У каждой из них есть какие-то интересные математические свойства.

Что же такое линия? Оказывается, дать строгое определение этого понятия совсем не просто. В «Началах» Евклида линия определялась как «длина без толщины». Однако такое определение не могло устроить математиков более позднего времени. После введения Р. Декартом системы координат появилась возможность дать представление о линии как о траектории движущейся точки. Приведем это определение. Пусть на отрезке [a,b] заданы две непрерывные функции x=f(t) и y=g(t). Сопоставим каждому значению t из отрезка [a,b] точку на координатной плоскости с координатами [x=f(t),y=g(t)]. Совокупность всех таких точек и будем называть линией. Такой способ задания кривой называется параметрическим. Легко заметить связь параметрического задания линии с представлением о линии как о траектории движущейся точки; если считать параметр t временем, то f(t) и g(t) будут координатами движущейся точки в момент времени t.

Параметрическое уравнение прямой имеет вид

а параметрическое уравнение окружности с центром в точке O с координатами (a,b) и радиусом R запишется в виде

Но прямую на плоскости можно описать и одним уравнением:

Ax+By+C=0,

как и окружность, уравнение которой имеет вид

(x-a)²+(y-b)²-R²=0.

Может быть, можно считать линией совокупность всех точек плоскости, удовлетворяющих некоторому уравнению F(x,y)=0?

Да, можно, но с осторожностью. Не всякое уравнение такого вида определяет линию. Скажем, уравнению x²+y²+25=0 не удовлетворяет ни одна точка плоскости, а уравнению x+y-|x+y|=0 удовлетворяют все точки полуплоскости x+y≥0 (рис. 1).

Рис. 1

Подобные казусы бывают и при параметрическом задании линии. Хотя для каждого значения t из отрезка [a,b] определена точка на плоскости, но совокупность этих точек может совершенно не соответствовать нашим интуитивным представлениям о линии, скажем, совпадать со множеством точек некоторого квадрата. Впервые такие линии обнаружил итальянский математик Д. Пеано (1858-1932), в честь которого их стали называть кривыми Пеано.

Способ построения одной из таких кривых изображен на рис. 2. Сначала берем простую крестообразную замкнутую ломаную, затем из четырех таких ломаных, соответственно уменьшенных, строим более сложную кривую, из четырех новых ломаных строим еще одну и т.д. Кривая, которая получится в пределе, и будет кривой Пеано. Для каждой ее точки можно указать значение t на отрезке [0,1], которому соответствует эта точка, причем близким точкам на отрезке [0,1] соответствуют близкие точки на кривой.

Рис. 2

Кривая, которая проходит через все точки квадрата, естественно, не соответствует нашим представлениям о линии. Поэтому при определении линии часто на функции f(t) и g(t) накладывают помимо непрерывности и другие ограничения, например существование производных.

Начнем с длины ломаной. Так как ломаная – объединение нескольких отрезков (ее звеньев), то длину ломаной легко найти, вычислив сумму длин всех се звеньев.

Задача 1. Выпуклый многоугольник F находится в многоугольнике G. Доказать, что периметр многоугольника F меньше периметра объемлющего многоугольника G.

Решение. Продолжим стороны выпуклого многоугольника F до пересечения с контуром объемлющего многоугольника G и сложим ряд неравенств (рис. 1):