Не существует таких явлений природы, технических или социальных процессов, которые были бы предметом изучения математики, но при этом не относились бы к явлениям физическим, биологическим, химическим, инженерным или социальным. Каждая естественнонаучная дисциплина: биология и физика, химия и психология – определяется материальной особенностью своего предмета, специфическими чертами той области реального мира, которую она изучает. Сам предмет или явление может изучаться разными методами, в том числе и математическими, но, изменяя методы, мы все же остаемся в пределах данной дисциплины, поскольку содержанием данной науки является реальный предмет, а не метод исследования. Для математики же материальный предмет исследования не имеет решающего значения, важен применяемый метод. Например, тригонометрические функции можно использовать и для исследования колебательного движения, и для определения высоты недоступного предмета. А какие явления реального мира можно исследовать с помощью математического метода? Эти явления определяются не их материальной природой, а исключительно формальными структурными свойствами, и прежде всего теми количественными соотношениями и пространственными формами, в которых они существуют.

Итак, математика изучает не материальные предметы, а методы исследования и структурные свойства объекта исследования, которые позволяют применять к нему некоторые операции (суммирование, дифференцирование и др.). Однако значительная часть математических проблем, понятий и теорий имеет своим первичным источником реальные явления и процессы. Например, арифметика и теория чисел выделились из первичной практической задачи – подсчета предметов. Элементарная геометрия имела своим источником проблемы, связанные со сравнением расстояний, вычислением площадей плоских фигур или же объемов пространственных тел. Все это требовалось находить, поскольку необходимо было перераспределять земельные участки между пользователями, вычислять размеры зернохранилищ или же объемы земляных работ при строительстве оборонных сооружений.

Математический результат обладает тем свойством, что его можно не только применять при изучении какого-то одного определенного явления или процесса, но и использовать для исследования других явлений, физическая природа которых принципиально отлична от ранее рассмотренных. Так, правила арифметики применимы и в задачах экономики, и в технических вопросах, и при решении задач сельского хозяйства, и в научных исследованиях. Арифметические правила были разработаны тысячелетия назад, но прикладную ценность они сохранили на вечные времена. Арифметика представляет собой составную часть математики, ее традиционная часть уже не подвергается творческому развитию в рамках математики, но она находит и будет в дальнейшем находить многочисленные новые применения. Эти применения могут иметь огромное значение для человечества, но вклада собственно в математику они уже не внесут.

Математика, как творческая сила, имеет своей целью разработку общих правил, которыми следует пользоваться в многочисленных частных случаях. Тот, кто создает эти правила, создает новое, творит. Тот, кто применяет уже готовые правила, в самой математике уже не творит, но, вполне возможно, создает с помощью математических правил новые ценности в других областях знания. Например, в наши дни данные дешифровки космических снимков, а также сведения о составе и возрасте горных пород, геохимических и геофизических аномалиях обрабатываются с помощью ЭВМ. Несомненно, что применение ЭВМ в геологических исследованиях оставляет эти исследования геологическими. Принципы же работы ЭВМ и их математическое обеспечение разрабатывались без учета возможности их использования в интересах геологической науки. Сама эта возможность определяется тем, что структурные свойства геологических данных находятся в соответствии с логикой определенных программ работы ЭВМ.

Получили широкое распространение два определения математики. Первое из них было дано Ф. Энгельсом в работе «Анти-Дюринг», другое – группой французских математиков, известной под именем Никола Бурбаки, в статье «Архитектура математики» (1948).

Согласно Ф. Энгельсу, «чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира». Это определение не только описывает объект изучения математики, но и указывает его происхождение – действительный мир. Однако определение Ф. Энгельса в значительной мере отражает состояние математики во второй половине XIX в. и не учитывает те ее новые области, которые непосредственно не связаны ни с количественными отношениями, ни с геометрическими формами. Это, прежде всего, математическая логика и дисциплины, связанные с программированием для ЭВМ. Поэтому определение Ф. Энгельса нуждается в некотором уточнении. Возможно, нужно сказать, что математика имеет своим объектом изучения пространственные формы, количественные отношения и логические конструкции.

Бурбаки утверждают, что «единственными математическими объектами становятся, собственно говоря, математические структуры». Иначе говоря, математику следует определить как науку о математических структурах. Это определение в сущности является тавтологией, поскольку оно утверждает только одно: математика занимается теми объектами, которые она изучает. Другой дефект этого определения состоит в том, что оно не выясняет отношения математики к окружающему нас миру. Более того, Бурбаки подчеркивают, что математические структуры создаются независимо от реального мира и его явлений. Вот почему Бурбаки были вынуждены заявить, что «основная проблема состоит во взаимоотношении мира экспериментального и мира математического. То, что между экспериментальными явлениями и математическими структурами существует тесная связь, - это, как кажется, было совершенно неожиданным образом подтверждено открытиями современной физики, но нам совершенно неизвестны глубокие причины этого... и, быть может, мы их никогда не узнаем».

Из определения Ф. Энгельса не может возникнуть подобного разочаровывающего вывода, поскольку в нем уже содержится утверждение о том, что математические понятия являются абстракциями от некоторых отношений и форм реального мира. Эти понятия берутся из реального мира и с ним связаны. В сущности, именно этим и объясняется поразительная применимость результатов математики к явлениям окружающего нас мира, а вместе с тем и успех процесса математизации знаний. Здесь заслуживает упоминания высказывание В. И. Ленина, помещенное в «Философских тетрадях» и сделанное им в связи с изучением «Науки логики» Гегеля: «Познание есть отражение человеком природы. Но это не простое, не непосредственное, не цельное отражение, а процесс ряда абстракций, формирования, образования понятий, законов etc., каковые понятия, законы etc. (мышление, наука - «логическая идея») и охватывают условно, приблизительно универсальную закономерность вечно движущейся и развивающейся природы».

Математика не является исключением из всех областей знания – в ней также образуются понятия, возникающие из практических ситуаций и последующих абстрагирований; она позволяет изучать действительность также приближенно. Но при этом следует иметь в виду, что математика изучает не вещи реального мира, а абстрактные понятия и что логические ее выводы абсолютно строги и точны. Ее приближенность носит не внутренний характер, а связана с составлением математической модели явления. Заметим еще, что правила математики не обладают абсолютной применимостью, для них также существует ограниченная область применения, где они господствуют безраздельно. Поясним высказанную мысль примером: оказывается, что два и два не всегда равно четырем. Известно, что при смешивании 2 л спирта и 2 л воды получается меньше 4 л смеси. В этой смеси молекулы располагаются компактнее, и объем смеси оказывается меньше суммы объемов составляющих компонентов. Правило сложения арифметики нарушается. Можно еще привести примеры, в которых нарушаются другие истины арифметики, например при сложении некоторых объектов оказывается, что сумма зависит от порядка суммирования.