Математика, прежде чем изучать своими методами какое-нибудь явление, создает его математическую модель, т.е. перечисляет все те особенности явления, которые будут приниматься во внимание. Модель принуждает исследователя выбирать те математические средства, которые позволят вполне адекватно передать особенности изучаемого явления и его эволюции. В качестве примера возьмем модель планетной системы: Солнце и планеты рассматриваются как материальные точки с соответствующими массами. Взаимодействие каждых двух точек определяется силой притяжения между ними

,

где m₁ и m₂ – массы взаимодействующих точек, r – расстояние между ними, а f - постоянная тяготения. Несмотря на всю простоту этой модели, она в течение вот уже трехсот лет с огромной точностью передает особенности движения планет Солнечной системы.

Конечно, каждая модель огрубляет действительность, и задача исследователя состоит в первую очередь в том, чтобы предложить модель, передающую, с одной стороны, наиболее полно фактическую сторону дела (как принято говорить, ее физические особенности), а с другой – дающую значительное приближение к действительности. Разумеется, для одного и того же явления можно предложить несколько математических моделей. Все они имеют право на существование до тех пор, пока не начнет сказываться существенное расхождение модели и действительности.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ

Индуктивными называют рассуждения, в которых осуществляется переход от частных заключений к общим. Некоторое свойство подмечается на каком-то числе примеров, в какой-то момент высказывается общая гипотеза, которая затем подвергается дальнейшей экспериментальной проверке. В естественных науках наступает момент, когда проверка считается достаточной для того, чтобы принять гипотезу, посчитать ее доказанной. Вспомним, например, открытие Ч. Дарвиным закона эволюции. В математике же, когда высказывание делается о бесконечной совокупности, проверка любого конечного набора случаев не может заменить доказательства.

«Большая часть великих идей современных математиков, если не все, получила свое начало в наблюдении». Дж. Сильвестр

На заре теории чисел математики открыли многие факты индуктивным путем: Л. Эйлер и К. Гаусс рассматривали подчас тысячи примеров, прежде чем подметить числовую закономерность и поверить в нее. Но одновременно они понимали, сколь обманчивыми могут быть гипотезы, прошедшие «конечную» проверку. Числа Ферма

 оказались простыми при k=0,1,2,3,4, но у F₅ Эйлер обнаружил делитель. Числа Мерсенна M_p=2^p-1, где p – простые числа, сами являются простыми при p=2,3,5,7, но не при p=11 (а потом вновь будут простыми при p=13,17,19,...). Лейбниц думал какое-то время, что n^2k+1-n делится на 2k+1, проверив это при k=1,2,3. Но при k=4 это не так.

Итак, для индуктивного перехода от утверждения, проверенного для конечного подмножества, к аналогичному утверждению для всего бесконечного множества необходимо доказательство. Но как осуществить проверку бесконечного числа случаев? Такой способ предложили Б. Паскаль и Я. Бернулли. Теперь он носит название метода математической индукции. Пусть некоторое свойство надо доказать для элементов последовательности a₁,a₂,...,a_k,.... Тогда достаточно:

1) проверить это утверждение для a₁ (этот шаг называется началом или базисом индукции);

2) в предположении, что утверждение справедливо для a_k, надо доказать его справедливость для a_k+1(индуктивный переход).

После проведения этих рассуждений можно сделать вывод, что доказываемое утверждение справедливо для всех a_n.

Метод математической индукции можно образно представить как цепочку людей, в которой каждый последующий положил руки на плечи предыдущего. Тогда возникает связанная шеренга, хотя непосредственное взаимодействие происходит лишь между ближайшими соседями.

Приведем несколько примеров. Пусть a_n=1+2+...+n - сумма первых n натуральных чисел. Надо доказать, что a_n=n(n+1)/2. При n=1 имеем a₁=1. Далее, если a_k = k(k+1)/2, то a_k+1 = a_k + k + 1 = (k+1)(k+2)/2 - и теорема доказана. Другой пример: a_n = 1 + 3 + ... + (2n-1) - сумма нечетных чисел. Надо доказать, что a_n=a². При n=1 это верно. Если a_k = k², то a_k+1 = a_k + (2k + 1) = k² + 2k + 1 = (k+1)² - и индуктивный переход проведен.

Провести индуктивный переход не всегда просто. Прежде всего, он, как и исходное утверждение, связан с бесконечным числом ситуаций (k любое). Однако успех метода математической индукции основывается на том, что очень часто провести индуктивный переход в общем случае много проще, чем непосредственно доказать исходное утверждение. Поэтому при проведении индуктивного перехода надо очень тщательно убеждаться, что рассуждение в самом деле проходит для любого k.

Часто приходится доказывать по индукции утверждение, справедливое не для всех n, а лишь для достаточно больших n, т.е. для всех n, больших некоторого заданного числа N. Тогда в основании индукции лежит проверка для a_N. Докажем, что имеет место неравенство n³ - 4 > 1000n² + 3n при n ≥ 2000. Нетрудно непосредственно убедиться, что при n = 2000 оно справедливо. Чтобы сделать индуктивный переход, заметим, что при переходе от k и k+1 к левой части прибавляется 3k² + 3k + 1, а к правой – 2000k + 1003. Все будет доказано, если мы докажем справедливость вспомогательного неравенства 3k² + 3k + 1 ≥ 2000k + 1003 при k ≥ 2000. При k = 2000 оно справедливо (проверяется непосредственно), а далее рассуждаем аналогично: при переходе от k и k+1 к левой части добавляется 6k + 6, а к правой -  2000. Поскольку 6k + 6 ≥ 2000 при k ≥ 2000, доказательство окончено. Этот пример иллюстрирует одновременно важную ситуацию: индуктивное предположение, в свою очередь, иногда целесообразно доказывать по индукции. При этом возникает цепочка индуктивных доказательств, причем на каждом шагу получается все более простое утверждение.

По индукции не только удобно проводить доказательства, но и давать некоторые определения. Пусть имеется некоторый человек A. Его родственниками первого порядка назовем его родителей и детей. Если определены родственники k-го порядка, то родственниками (k+1)-го порядка для A назовем родственников первого порядка для родственников A k-го порядка, которые не являются родственниками A меньшего порядка. В частности, братья и сестры при таком определении являются родственниками второго порядка. Индуктивные определения играют важную роль в математической логике и математической лингвистике.

Доказательства по индукции прочно вошли в обиход математической деятельности. Придумано огромное число модификаций метода, ориентированных на разные приложения.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

«Если все вороны черные, то все нечерные предметы – не вороны». Это высказывание несомненно истинно, и, чтобы утверждать это, не нужно быть знатоком птиц. Точно так же не нужно быть специалистом в теории чисел, чтобы сказать, что если все совершенные числа четны, то все нечетные числа несовершенны. Мы привели примеры утверждений, истинных независимо от смысла входящих в них понятий (вороны, черные, совершенные, четные) – истинных уже в силу самой своей формы. Изучение такого рода утверждений входит в задачу логики. Более общо: логика изучает правильные способы рассуждений – такие способы рассуждений, которые приводят к верным результатам в тех случаях, когда верны исходные посылки.