Рассмотрим более сложный пример - «золотое правило» накопления. Величина выпуска предприятием (в рублях) конечной продукции Y_t в момент времени t определяется затратами труда L_t, производительность которого зависит от отношения степени насыщенности его оборудованием K_t к затратам труда. Математическая запись этого такова:

Y_t = f(K_t/L_t)L_t.    (2)

Конечная продукция распределяется на потребление C_t и накопление оборудования. Если обозначить долю выпуска продукции, идущую на накопление, через s, то

C_t = (1 - s)Y_t.   (3)

В экономике s называют нормой накопления. Ее значение заключено между нулем и единицей.

За единицу времени объем оборудования изменяется на величину накопления

K_t+1 - K_t = sY_t. (4)

При сбалансированном росте экономики все ее составляющие растут с одинаковым темпом роста λ. По формуле сложных процентов получаем:

Y_t = (1 + λ)^tY, L_t = (1 + λ)^tL, K_t = (1 + λ)^tK, C_t = (1 + λ)^tC.

Если ввести величины, характеризующие потребление c = C/L, объем оборудования R = K/L и выпуск продукции y = Y/L на одного работника, то система соотношений (2) - (4) перейдет в систему

y = f(R), λR = sf(R), c = f(R) - sf(R).   (5)

Второе из этих соотношений при заданных темпах роста λ и потреблении s определит фондовооруженность труда R как точку пересечения кривой y = sf(R) и прямой y = λR на рис. 2. Эти линии обязательно пересекутся, так как функция f(R), хотя и монотонно, растет, что означает рост выпуска с ростом вооруженности труда R, однако все более полого, т.е. это вогнутая функция. Последнее обстоятельство отражает тот факт, что дополнительное увеличение оборудования, приходящегося на одного рабочего, из-за роста его загруженности становится все менее эффективным («закон убывающей полезности»). Различным значениям нормы накопления S отвечает семейство кривых y = sf(R). Длина f(R) - sf(R) отрезка AB как следует из формулы (5), равна потреблению c. При s = 1 (точка A₀ на рис. 2) потребления совсем нет – вся продукция идет на накопление оборудования. Уменьшим теперь норму накопления s. Тогда потребление c (длина AB) будет уже ненулевым, хотя темп роста λ экономики (угол наклона прямой OB) остается тем же. В точке с ординатой R_*, для которой касательная к кривой y = f(R) параллельна прямой y = λR потребление c^* максимально. Ей соответствует кривая семейства y = s^*f(R) с некоторой нормой накопления s^*, называемой «золотой нормой накопления».

Рис. 2

ЛЕОНИД ВИТАЛЬЕВИЧ КАНТОРОВИЧ

(1912-1986)

Л. В. Канторович – советский математик и экономист, создатель линейного программирования и теории оптимального планирования социалистической экономики, академик, лауреат Нобелевской премии.

Л. В. Канторович родился в Петербурге, в семье врача. Его способности проявились необычайно рано. Уже в 4 гола он свободно оперировал многозначными числами, в семилетнем возрасте освоил курс химии по учебнику старшего брата. В 14 лет он стал студентом Петербургского университета. К моменту окончания университета, в 1930 г., Л. В. Канторович уже известный ученый, автор десятка работ, опубликованных в ведущих международных математических журналах, а в 20 лет – профессор математики.

В 1935 г. ученый ввел и изучил класс функциональных пространств, в которых для некоторого набора их элементов определено отношение порядка. Теория таких пространств их называют пространствами Канторовича, или K-пространствами, является одним из основных разделов функционального анализа. Недавние работы, связанные с решением проблемы континуума, определили место K-пространств в ряду наиболее фундаментальных математических структур.

Л. В. Канторовича отличала поразительная способность в частной задаче увидеть ядро проблемы и, создав теорию, дать общий метод решения широкого класса подобных задач. Особенно ярко это раскрылось в его работах по вычислительной математике и математической экономике.

В начале 30-х гг. Л. В. Канторович одним из первых крупных ученых заинтересовался вычислительной математикой. Современный облик этой науки во многом был определен его трудами. Среди них основополагающая и ставшая классической монография «Приближенные методы высшего анализа»; вычислительные методы, носящие его имя; общая теория приближенных методов, построенная на базе функционального анализа (Государственная премия 1949 г.); работы по автоматическому программированию, выполненные на заре компьютерной эры и предвосхитившие многие современные идеи, наконец, ряд изобретений в области вычислительной техники.

В 1939 г. в Ленинграде вышла небольшая брошюра «Математические методы организации и планирования производства», в которой фактически содержался новый раздел прикладной математики, впоследствии названный линейным программированием (см. Геометрия). Поводом к ее написанию послужила конкретная производственная задача. Осознав ключевое значение понятий вариантности и оптимальности в социалистической экономике, таких важнейших показателей, как цена, рента, эффективность, он приступает к разработке теории оптимального планирования, удостоенной впоследствии Ленинской (1965) и Нобелевской (1975) премий.

Книга «Экономический расчет наилучшего использования ресурсов», излагающая эту теорию, была написана в условиях ленинградской блокады и закончена уже в 1942 г.

Понимая исключительную важность этих исследований, ученый настойчиво добивался практического использования их результатов. Однако работа была опубликована только в 1959 г. и даже тогда подвергалась нападкам ортодоксальных политэкономов. Книга Л. В. Канторовича сформировала взгляды целого поколения советских экономистов. Многие идеи, впервые высказанные там, реализуются в ходе перестройки.

Международный научный авторитет ученого был очень высок. Л. В. Канторович член многих зарубежных академий, почетный доктор многих университетов мира.

------------------------------------------

Нелегкой проблемой в математической экономике является сопоставление теории и практики: экономические показатели измерять крайне трудно – измеряются они не на лабораторных установках, наблюдения удается проводить крайне редко (вспомните переписи!), проводятся они в разных условиях и содержат массу неточностей. Поэтому здесь трудно использовать опыт измерений, накопленный в других науках, и требуется разработка специальных методов.

Развитие математической экономики вызвало появление многих математических теорий, объединяемых названием «математическое программирование» (о линейном программировании можно прочитать в статье «Геометрия»).

Вопросы применения математических методов в экономике были разработаны в трудах советского математика Л. В. Канторовича, которые были отмечены Ленинской и Нобелевской премиями.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ ШКОЛЬНИКОВ

Из глубины веков ведут свою историю математические турниры и соревнования; например, с такими турнирами связана драматическая история открытия формулы Тарталья-Кардано для решения кубического уравнения (см. Алгебраические уравнения).

Первенство в регулярном проведении соревнований школьников, по-видимому, принадлежит Венгрии, где математические олимпиады устраивают с 1894 г. (сборник задач этих олимпиад издан на русском языке в 1976 г. в издательстве «Мир» в серии «Задачи и олимпиады»). С 1894 г. в России выходил журнал «Вестник опытной физики и элементарной математики», где учащимся и другим читателям предлагались математические задачи «на конкурс». Можно сказать, что это были заочные олимпиады.