7. (jÉ(j

)),

  8. (

É(j)),

  9. (ùjÉ)(jÉ

)),

  10. ((jÉ

)É((jÉù)Éùj))

  11. (j

ùj),

  12. ("xjÉj(x/y)),

  13. (j(x/y) É$xj).

  В исчислении предикатов употребляются след. три правила вывода. 1) Правило вывода заключений: из формул j и (jÉ

) выводится формула . Два кванторных правила вывода: 2) из формулы (jÉ), где  не содержит свободно х, можно вывести (jÉ"x); 3) из формулы (jÉ), где  не содержит свободно х, можно вывести ($xjÉ).

  В отличие от других формулировок исчисления (см., например, Логика, раздел Предмет и метод современной логики), здесь j,

 и h не принадлежат языку рассматриваемого исчисления, а обозначают его произвольные формулы; поэтому каждая из записей 1—13 есть аксиомная схема, «порождающая» при подстановке вместо греческой буквы некоторую конкретную аксиому; специальных правил подстановки при этой формулировке не надо.

  Интуиционистское исчисление предикатов отличается от классического лишь тем, что закон исключенного третьего (аксиома 11) исключается из числа аксиом. Различие двух исчислений отражает различие в их истолкованиях. Истолкование логических связок &,

, É, ù в исчислениях предикатов таково же, как и в соответствующих исчислениях высказываний. Что касается истолкования кванторов, то в классическом исчислении предикатов кванторы трактуются с точки зрения актуальной бесконечности. Точнее, каждая формула получает значение «истина» или «ложь», если определить модель исчисления предикатов, т. е. определить множество объектов, приписать каждой предикатной букве формулы некоторое отношение на этом множестве и приписать всем параметрам формулы некоторые объекты в качестве значений. Формула называется классически общезначимой, если она в любой модели принимает значение «истина». Как показал К. Гёдель, в классическом исчислении предикатов выводимы все классически общезначимые формулы, и только они. Эта теорема Гёделя и представляет собой точное выражение идеи формализации логики: в классическом исчислении предикатов выводятся все логические законы, общие для всех моделей.

  В интуиционистском же истолковании утверждение, что некоторая формула истинна, требует проведения некоторого математического построения. Например, "x$yj истинно с интуиционистской точки зрения, только если имеется общий метод, позволяющий находить для каждого х соответствующее у. Истинность "x (j

ùj) предполагает наличие метода для определения истинного члена дизъюнкции (jùj) для каждого значения параметра х. Например, классически общезначимые формулы, выражающие закон исключенного третьего (jùj) или закон пронесения отрицания через всеобщность (ù"xjÉ$xùj), интуиционистски необщезначимы (теория моделей развивается, однако, и для интуиционистского исчисления предикатов).

  Л. п. является обычным базисом для построения логических исчислений, предназначенных для описания тех или иных дисциплин (прикладных исчислений). С этой целью язык исчисления предикатов «конкретизируется»: к нему добавляют предикатные символы и знаки операций, выражающие специфические отношения и операции рассматриваемой дисциплины. Например, если мы стремимся описать истинные суждения арифметики натуральных чисел, то можно добавить операции сложения, умножения, отношение делимости и т.п. Затем, кроме аксиом и правил вывода исчисления прецикатов (логических постулатов), в исчисление вводятся аксиомы, выражающие специфические законы изучаемого предмета (прикладные, специфические аксиомы). Таким образом строится, например, формальная арифметика.

  Помимо классического и интуиционистского исчислений предикатов, имеются и др. логические системы, описывающие логические законы, выразимые иными логическими средствами или с иных методологических позиций. Сюда относятся исчисления модальной логики, вероятностной логики, индуктивной логики и др.

  Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957.

  А. Г. Драгалин.

Логинов Евгений Федорович

Ло'гинов Евгений Федорович [10(23).10.1907, Гельсингфорс, ныне Хельсинки, — 7.10.1970, Москва], советский военачальник, маршал авиации (1967). Член КПСС с 1939. В Советской Армии с 1926. Окончил Военно-теоретическую школу ВВС (1926), военную школу лётчиков (1928), Высшую военную академию им. К. Е. Ворошилова (1949). В 1926—42 лётчик, командир звена, отряда, эскадрильи, помощник командира авиабригады. Во время Великой Отечественной войны 1941—1945 командовал авиационной дивизией и авиационным корпусом дальнего действия. После Великой Отечественной войны начальник факультета и заместитель начальника Военно-воздушной академии (1950—54), на ответственной работе в войсках; заместитель Главкома ВВС и генерал-инспектор Главной инспекции министерства обороны (1954—59), начальник Главного управления Гражданского воздушного флота (1959—1964), с 1964 министр Гражданской авиации СССР. Депутат Верховного Совета СССР 7-го созыва. Кандидат в члены ЦК КПСС (с 1966), член ЦК КПСС с 1968. Награжден 4 орденами Ленина, 3 орденами Красного Знамени, орденами Кутузова 1-й степени, Суворова 2-й степени, Александра Невского, Красной Звезды и медалями.

Е. Ф. Логинов.