К числу задач, характерных для формульной модели М. л., относится задача «об описании», т. е. вопрос об указании для заданного множества М ₂ Í [M ₁ ] всех формул из <M ₁ >, реализующих функции из М ₂ . Частным случаем такой задачи является важный вопрос математической логики об указании всех формул, реализующих заданную константу, что, например, для исчисления высказываний эквивалентно построению всех тождественно истинных высказываний. Пограничным вопросом между математической логикой и алгеброй, примыкающим к задаче об описании, является задача о тождественных преобразованиях. В ней при заданном множестве М требуется выделить в некотором смысле простейшее подмножество пар равных (т. е. реализующих одну и ту же функцию) формул из <М >, позволяющее путём подстановки выделенных равных формул одной вместо другой получить из любой формулы все формулы, равные ей. Аналогичное место занимает один из важнейших вопросов для М. л. — т. н. проблема полноты, состоящая в указании всех таких подмножеств M ₁ заданного замкнутого, т. е. совпадающего со своим замыканием, множества М , для которых выполнено равенство [M ₁ ] = М , т. е. имеет место свойство полноты M ₁ в М . Глобальной задачей для М. л. является описание структуры замкнутых классов данной модели М. л.

  Характерный для теории управляющих систем вопрос о сложности этих систем естественно возникает и по отношению к формулам и функциям из М. л. Типичной при таком подходе является следующая задача о сложности реализации. На множестве всех элементарных формул некоторым способом вводится числовая мера (сложность формул), которая затем распространяется на множество всех формул, например, путём суммирования мер всех тех элементарных формул, которые участвуют в построении заданной формулы. Требуется для заданной функции указать ту формулу (простейшую), которая реализует эту функцию и имеет наименьшую сложность, а также выяснить, как эта сложность зависит от некоторых свойств рассматриваемой функции. Исследуются различные обобщения этой задачи. Широкий круг вопросов связан с реализацией функций формулами с наперёд заданными свойствами. Сюда относятся задача о реализации функций алгебры логики дизъюнктивными нормальными формами и связанная с этим задача о минимизации; а также задача о реализации функций формулами в некотором смысле ограниченной глубины (т. е. такими формулами, в которых цепочка подставляемых друг в друга формул имеет ограниченную длину, такое ограничение связано с надёжностью и скоростью вычислений).

  Решения всех перечисленных задач существенно зависят от мощности множества Е и множества М , порождающего заданную модель М. л.

  К числу наиболее важных примеров М. л. относятся конечнозначные логики (т. е. m -значные логики, для которых m конечно). Среди них наиболее глубоко исследован случай m = 1. Важнейшим результатом здесь является полное описание структуры замкнутых классов и получение для них важной информации по задаче о сложности реализации. Установлено, что при m > 2 у конечнозначных логик возникает ряд особенностей, существенно отличающих их от двузначного случая. Таковы, например, континуальность множества замкнутых классов (при m = 2 их счётное число), особенности решения задачи о сложности реализации и ряд других. Общим результатом для конечнозначных логик является эффективное решение задачи о полноте для замкнутых классов, содержащих все функции со значениями в Е . Решение остальных проблем для конечнозначных логик продвинуто в различной степени. Особая значимость конечнозначных логик связана ещё и с тем, что они позволяют описывать работу самых различных реальных вычислительных устройств и автоматов.

  Примерами другой М. л. являются счётнозначные и континуум-значные логики (т. е. такие m -значные логики, для которых мощность m является, соответственно, счётной или континуальной). Эти модели играют важную роль в математической логике, моделей теории и в математическом анализе. К М. л. иногда относят и такие алгебры функций, в которых запас операций несколько отличается от указанного. Как правило, это достигается путём сужения описанного запаса или введения в операции некоторых функций рассматриваемой М. л.

  Лит.: Яблонский С. В., Гаврилов Г. П., Кудрявцев В. Б., Функции алгебры логики и классы Поста, М., 1966; Яблонский С. В., Функциональные построения в k-значной логике, «Тр. Матем. института АН СССР», 1958, т. 51, с. 5—142.

  В. Б. Кудрявцев.

Многозначная функция

Многозна'чная фу'нкция, функция, принимающая несколько значений для одного и того же значения аргумента. М. ф. появляются при обращении однозначных функций, повторяющих свои значения. Так, функция x ² принимает каждое положительное значение дважды (при значениях аргумента, различающихся только знаком); обращение её даёт двузначную функцию

 Функция sinх принимает каждое своё значение бесконечное множество раз; обращение её даёт бесконечнозначную функцию Arcsinх . Существенную роль М. ф. играют в теории аналитических функций комплексного переменного. В комплексной области  имеет n значений при любом z ¹ 0; f (z ) = Lnz при z ¹ 0 — бесконечное число значений.

Многозначность слова

Многозна'чность сло'ва, полисемия, наличие у слова более чем одного значения, т. е. способность одного слова передавать различную информацию о предметах и явлениях внеязыковой действительности. Например, у слова горло 4 значения: передняя часть шеи; полость позади рта; верхняя суженная часть сосуда; узкий выход из залива, устье. Во многих языках, в том числе в русском, многозначные слова преобладают над однозначными. М. с. принято отграничивать от омонимии , т. к. значения многозначного слова связаны общими семантическими элементами (семантическими признаками) и образуют определённое семантическое единство (семантическую структуру слова). Различаются первичные и вторичные (производные) значения, которые иногда понимаются как прямые и переносные значения. Первичные значения, как правило, наименее контекстно обусловленны. Соотношение между первичными и вторичными значениями с течением времени может меняться. У разных типов слов существуют различные типы М. с., например относительно регулярная и нерегулярная М. с. — слова, обозначающие населённые пункты (город, деревня, село, посёлок и т. д.), могут иметь в русском языке также значение «жители данного населенного пункта», т. е. следуют определённой семантической формуле, в то время как вторичные значения, например обозначения животных (лев, лиса и т. д.) в применении к людям индивидуальны. Особенности объединения значений в пределах одного слова во многом определяют своеобразие словарного состава каждого языка. Многозначными могут быть также грамматические формы слова и синтаксические конструкции.

  Лит.: Виноградов В. В., Основные типы лексических значений слова, «Вопросы языкознания», 1953, № 5; Ахманова О. С., Очерки по общей и русской лексикологии, М., 1957; Курилович Е., Заметки о значении слова, в его кн.: Очерки по лингвистике, пер. с польск., англ., франц., нем., М., 1962; Üllmann S., The principles of semantics, 2 ed., Glasgow, 1959.

  Д. Н. Шмелев .