Функции

называются гиперболическими функциями , обладают рядом свойств, сходных со свойствами тригонометрических функций, и играют наряду с последними важную роль в различных приложениях математики.

  Из соотношения (2) следует, что П. ф. (комплексного переменного z ) имеет период 2pi, то есть e^{z+2 pi} = e^z или e^{2 pi} = 1. Производная П. ф. равна самой функции: (e^z )' = e^z .

  Указанными свойствами П. ф. определяются её многочисленные приложения. В частности, П. ф. выражает закон (т. н. закон естественного роста), определяющий течение процессов, скорость которых пропорциональна наличному значению изменяющейся величины; примером могут служить химические мономолекулярные реакции или, при известных условиях, рост колоний бактерий. Периодичность П. ф. комплексного переменного наряду с другими её свойствами является причиной, по которой эта функция играет исключительно важную роль при изучении всяких периодических процессов, в частности колебаний и распространения волн.

Рис. к ст. Показательная функция.

Показа'тельное распределе'ние , распределение вероятностей на действительной прямой с плотностью вероятностей р (х ), равной при х ³ 0 показательной функции le^{- lx} , l > 0 [отсюда название П. р.] и при х < 0 — нулю. Вероятность того, что случайная величина X , имеющая П. р., примет значения, превосходящие некоторое произвольное число х, будет при этом равна e^{- lx} . Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X равны соответственно 1/l и 1/l² . П. р. является единственным непрерывным распределением вероятностей, обладающим тем свойством, что для любых значений x₁ и x₂ выполняется равенство

P (X > x₁ +x₂ ) = P (X > x₁ ) P (X > x₂ )

(т. н. свойство «отсутствия последействия»). Указанным характеристическим свойством в значительной мере объясняется, например, та роль, которую П. р. играет в задачах массового обслуживания теории , где предположение о П. р. времени обслуживания является естественным. П. р. тесно связано с понятием пуассоновского процесса ; промежутки между последовательными событиями в таком процессе суть независимые случайные величины, имеющие П. р.; при этом l равно среднему числу событий в единицу времени.

  Лит.: Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1—2, М., 1967.

  А. В. Прохоров.

Покая'ние церковное, исповедь, христианское таинство (магически-культовый обряд). См. в ст. Таинства .

По'ккельса эффе'кт , линейный электрооптический эффект, изменение преломления показателя света в кристаллах, помещенных в электрическое поле, пропорциональное напряжённости электрического поля. П. э. наблюдается только у пьезоэлектриков (см. Пьезоэлектричество , Симметрия кристаллов ). Был обнаружен в 1894 немецким физиком Ф. Поккельсом (F. С. Pockels), после чего в течение длительного времени исследовался мало и находил ограниченное применение. Главная причина — высокие электрические напряжения (десятки и сотни Кв ) для получения заметного эффекта.

  Появление лазеров стимулировало исследования П. э. На основе П. э. разработан ряд устройств для электрического управления когерентным оптическим излучением. Почти все созданные модуляторы света (см. Модуляция света ) основаны на П. э. Важное свойство П. э. — малая инерционность, позволяющая осуществлять модуляцию света до частот ~10¹³ гц. Кроме того, из-за линейной зависимости между показателем преломления и напряжённостью электрического поля нелинейные искажения при модуляции света относительно невелики. Малая инерционность позволяет использовать П. э. для модуляции добротности лазеров, с помощью которой получают гигантские по мощности световые импульсы малой длительности. П. э. находит применение также в системах углового отклонения светового пучка и в устройствах создания двумерного оптического изображения.

  Лит.: Сонин А. С., Василевская А. С., Электрооптические кристаллы, М., 1971; Мустель Е. P., Парыгин В. Н., Методы модуляции и сканирования света, М., 1970.

  В. Н. Парыгин.

Поко'вка , заготовка или готовое изделие, получаемое ковкой или горячей объёмной штамповкой в кузнечно-штамповочном производстве.

Поко'й у расте'ний , физиологическое состояние растений, при котором у них резко снижаются скорость роста и интенсивность обмена веществ ; возникло в ходе эволюции как приспособление для переживания неблагоприятных условий среды в различные периоды жизненного цикла или сезона года. Покоящиеся растения устойчивее к морозам, жаре, засухе. В состоянии покоя могут находиться растения в целом (зимой), их семена, почки, клубни, корневища, луковицы, споры и др. При переходе в состояние покоя образуются ткани, изолирующие растение или его органы от среды, а также происходят глубокие физиолого-биохимические изменения в клетках, приводящие к обособлению в них протоплазмы, обогащению липидами, углеводами, обезвоживанию, изменению соотношения между ингибиторами и стимуляторами роста. Различают глубокий и вынужденный покой. Первый обусловлен определённым сочетанием внутренних факторов и их взаимодействием со средой, второй — резкими отклонениями внешних факторов от нормальных условий жизни. Иногда выделяют органический покой, который связывают с изменениями в нуклеиновом и белковом обмене; выход из такого покоя обусловливает нормальный рост растений и семян весной. Глубокий покой связывают с закаливанием растений и их морозоустойчивостью. Состояние покоя относительно и внешне не всегда легко обнаруживается (например, летом во внешне не меняющихся почках и луковицах). Пример покоя — зимнее состояние деревьев после листопада и вызревания побегов. Семена многих растений способны к длительному покою, обусловливающему их длительную сохранность в почве. В состоянии покоя находятся клубни картофеля, благодаря чему не происходит их прорастание после уборки. Многие тропические растения в состоянии покоя переживают засушливые сезоны. Для снятия покоя у семян косточковых и некоторых др. растений, имеющих длительный период покоя, применяют стратификацию семян и скарификацию семян , а у побегов — выгонку растений . Для задержки в состоянии покоя клубней картофеля их обрабатывают эфиром a-нафтилуксусной кислоты и др. веществами.