Т. о., одной из основных задач Т. и. является нахождение аналитических формулировок законов механики, геометрии, физики, не зависящих от выбора координатной системы.

  1. Тензоры в прямоугольных координатах. Величины, которые в каждой системе прямоугольных координат задаются в 3-мерном пространстве 3^k числами

  (i_r = 1, 2, 3) и при замене системы координат (x₁ , x₂ , x₃ ) системой (x’₁ , x’₂ , x’₃ ) заменяются числами  по формулам:

 

, (1)

где

, называются тензорными величинами, а определяющие их системы чисел — тензорами в прямоугольных координатах (иногда тензорами называют также и сами тензорные величины). Число k называется валентностью (рангом) тензора, числа — его компонентам и (координатами). Аналогичным образом определяются тензоры в пространстве любого числа измерений.

  Примеры тензоров: если координаты вектора а обозначить a_i (i = 1, 2, 3), то числа а , образуют тензор первой валентности. Любым двум векторам а = {a_i } и b ={b_i } соответствует тензор с компонентами p_ij = a_i . b_j . Этот тензор называется диадой. Если a (x₁ , x₂ , x₃ ) — некоторое векторное поле , то каждой точке этого поля соответствует тензор с компонентами

. Он называется производной вектора а = {ai} по вектору r {x₁ , x₂ , хз } (обозначается также через ). Упомянутая выше совокупность чисел J_ij образует тензор второй валентности (тензор инерции).

  2. Тензоры второй валентности. В приложениях Т. и. к механике, кроме тензоров первой валентности (векторов), чаще всего встречаются тензоры второй валентности.

  Если p_ij = p_ji , то тензор называется симметрическим, а если p_ij = –p_ji , то — кососимметрическим (антисимметрическим). Симметрический тензор имеет шесть существенных компонент, а кососимметрический — три:

; ;  . При этом компоненты w₁ , w₂ , w₃ преобразуются как компоненты псевдовектора (см. Осевой вектор ). Вообще псевдовекторы (угловую скорость, векторное произведение двух векторов и др.) можно рассматривать как кососимметрические тензоры второй валентности. Далее, если в любой системе координат принять , , , то получится тензор, называемый единичным тензором. Компоненты этого тензора обозначаются при помощи Кронекера символа d_ij . Тензоры инерции, напряжения, единичный тензор — симметрические. Всякий тензор единственным образом разлагается на сумму симметрических и кососимметрических тензоров. Если а (r ) — вектор смещения частиц упругого тела при малой деформации, то симметрическая часть  называется тензором деформации; кососимметрическая часть  соответствует псевдовектору  (см. Вихрь векторного поля).

Тензор

 является симметрическим только в том случае, когда поле а (r ) потенциально (см. Потенциальное поле ). Разложение тензора  на симметрические и кососимметрические части соответствует разложению относительного смещения da на чистую деформацию и на поворот тела как целого.

  Инвариантами тензора называются функции от его компонент, не зависящие от выбора координатной системы. Примером инварианта является след тензора p₁₁ + p₂₂ + p₃₃ . Так, для тензора инерции он равен удвоенному полярному моменту инерции относительно начала координат, для тензора

 —  дивергенции векторного поля a (r ) и т. д

  3. Тензоры в аффинных координатах. Для многих задач приходится рассматривать тензорные величины в аффинных координатах (косоугольных координатах с различными единицами длины по разным осям). Положение одной аффинной системы координат относительно другой может быть описано двумя различными системами чисел: числами

 равными компонентам векторов . нового базиса относительно векторов  старого базиса, и числами , равными компонентам векторов  относительно базиса . В соответствии с этим бывают тензоры различного вида: в законы преобразования одних из них входят числа , а в законы преобразования других — числа . Встречаются и тензоры, в законы преобразования которых входят как числа , так и числа . Тензоры первого вида называются ковариантными, второго — контравариантными и третьего — смешанными тензорами. Более точно, (r + х )-валентным смешанным тензором s раз ковариантным и r раз контравариантным. называют совокупность 3^r+s чисел , заданную в каждой системе аффинных координат и преобразующуюся при переходе от одной системы координат к другой по формулам:

 

При рассмотрении прямоугольных координат не приходится различать ковариантные (нижние) и контравариантные (верхние) индексы тензора, так как для двух таких систем координат

.