Рассмотрим два момента движения и покажем, что сумма выражений (v²/2) + gh, помноженных на соответствующие массы, действительно остается неизменной.

Итак, требуется доказать равенство

Заглавными буквами обозначены физические величины, характеризующие большой груз. Индексы 1 и 2 относят здесь величины к двум рассматриваемым моментам движения.

Так как грузы связаны веревкой, то v₁ = V₁, v₂ = V₂.Используя эти упрощения и перенося все члены, содержащие высоты, вправо, а члены со скоростями — влево, получим:

Разности высот грузов, разумеется, равны (но с обратным знаком, так как один груз поднимается, а другой опускается). Таким образом,

где S — пройденный путь.

На стр. 51 мы узнали, что разность квадратов скоростей v₁² — v₂² в начале и конце отрезка S пути, проходимого с ускорением а, равна

v₁² — v₂² = 2a∙S

Подставляя это выражение в последнюю формулу, найдем:

(m + М)∙а = (М — m)∙g.

Но это есть закон Ньютона, записанный выше для нашего примера. Этим доказано требуемое: для двух тел сумма выражении (v²/2) + gh, умноженных на соответствующие массы[7], во время движения остается неизменной, или, как говорят, сохраняется, т. е.

Для случая с одним телом эта формула перейдет в ранее доказанную:

(v²/2) + gh = const.

Половина произведения массы на квадрат скорости называется кинетической энергией К:

K = mv²/2

Произведение веса тела на высоту называют потенциальной энергией тяготения тела к Земле U:

U = m∙g∙h.

Мы доказали, что во время движения системы из двух тел (и можно доказать то же самое для системы, состоящей из многих тел) сумма кинетической и потенциальной энергий тел остается неизменной.

Другими словами, увеличение кинетической энергии группы тел может произойти лишь за счет убыли потенциальной энергии этой системы (и, разумеется, наоборот).

Доказанный закон называется законом сохранения механической энергии.

Закон сохранения механической энергии является очень важным законом природы. Значение его мы еще не показали в полной мере. Позже, когда мы познакомимся с движением молекул, будет видна его универсальность, применимость ко всем явлениям природы.

Если толкать или тянуть тело, не встречая при этом никакой помехи, то результатом будет ускорение тела. Происшедшее при этом приращение кинетической энергии называют работой силы А:

A = (mv₂²/2) — (mv₁²/2)

По закону Ньютона ускорение тела, а следовательно, и прирост кинетической энергии определяется векторной суммой всех сил, приложенных к телу. Значит, в случае многих сил формула A = (mv₂²/2) — (mv₁²/2) есть работа результирующей силы. Выразим работу А через величину силы.

Для простоты мы ограничимся случаем, когда движение возможно лишь в одном направлении — будем толкать (или тянуть) вагонетку массы m, стоящую на рельсах (рис. 3.6).

Согласно общей формуле равномерно-ускоренного движения v₂² — v₁² = 2a∙S. Поэтому работа всех сил на пути S

A = (mv₂²/2) — (mv₁²/2) = 2a∙S

Произведение та равно составляющей суммарной силы на направление движения. Таким образом, А = f_прод∙S.

Работа силы измеряется произведением пути на составляющую силы вдоль направления пути.

Формула работы справедлива для сил любого происхождения и для движений по любой траектории.

Заметим, что работа может быть равна нулю и тогда, когда на движущееся тело действуют силы.

Например, работа силы Кориолиса равняется нулю. Ведь эта сила перпендикулярна к направлению движения. Продольной составляющей у нее нет, поэтому равна нулю и работа.

Любое искривление траектории, не сопровождающееся изменением скорости, не требует работы — ведь кинетическая энергия при этом не меняется.

Может ли быть работа отрицательной? Конечно, если сила направлена под тупым углом к движению, то она не помогает, а мешает движению. Продольная составляющая силы на направление будет отрицательной. В этом случае мы и скажем, что сила производит отрицательную работу. Сила трения всегда замедляет движение, т. е. производит отрицательную работу.

По приращению кинетической энергии можно судить о работе лишь результирующей силы.

Что же касается работ отдельных сил, то мы должны их вычислять как произведения f_прод∙S. Автомобиль равномерно движется по шоссе. Прироста кинетической энергии нет, значит, работа результирующей силы равна нулю. Но, разумеется, не равна нулю работа мотора — она равна произведению силы тяги на пройденный путь и полностью компенсируется отрицательной работой сил сопротивления и трения.

Пользуясь понятием «работа», мы можем более коротко и ясно описать те интересные особенности силы тяжести, с которыми мы только что знакомились. Если под действием силы тяжести тело перейдет из одного места в другое, то кинетическая энергия его изменится. Это изменение кинетической энергии равно работе А. Но из закона сохранения энергии нам известно, что прирост кинетической энергии происходит за счет убыли потенциальной.

Таким образом, работа силы тяжести равна убыли потенциальной энергии:

A = U₁ — U₂.

Очевидно, что убыль (или прирост) потенциальной энергии, а значит и прирост (или уменьшение) кинетической энергии будут одни и те же, независимо от того, по какому пути тело двигалось. Это означает, что работа силы тяжести не зависит от формы пути. Если тело перешло из первой точки во вторую с увеличением кинетической энергии, то из второй точки в первую оно перейдет с уменьшением кинетической энергии на точно такую же величину. При этом безразлично, совпадает ли форма пути «туда» с формой пути «обратно». Значит, и работы «туда» и «обратно» будут одинаковы. А если тело проделывает длинное путешествие, но конец пути совпадает с началом, то работа будет равна нулю.

Представьте себе какой угодно причудливой формы канал, по которому без трения скользит тело. Отправим его в путешествие с самой высокой точки. Тело помчится вниз, набирая скорость. За счет полученной кинетической энергии тело будет преодолевать подъем и наконец вернется к станции отправления. С какой скоростью? Разумеется, с той же, с которой оно покинуло станцию. Потенциальная энергия вернется к прежнему значению. А если так, то кинетическая энергия не могла ни уменьшиться, ни увеличиться. Значит, работа равна нулю.

Работа по кольцевому (физики говорят — по замкнутому) пути равна нулю не для всех сил. Нет надобности доказывать, что работа сил трения, например, будет тем больше, чем длиннее путь.