Итак, парадокс зеркального отражения. В 1896 году Г. Дж. Уэллс написал свою “Историю Платтнера” (“The Plattner story”) - уже упоминавшийся рассказ о том, как школьный учитель Готфрид Платтнер претерпевает фантастическое путешествие, после чего возвращается зеркально перевёрнутым. До путешествия он не был левшой и имел нормальное строение тела за исключением лёгкой асимметрии: “Левый глаз немного больше правого и челюсть чуть-чуть отвисает с левой стороны”. А вот каким он сделался после своего путешествия: “Правый глаз немного больше левого, и правая часть челюсти слегка тяжелее левой. ‹…› Сердце Готфрида бьётся с правой стороны! ‹…› Все другие несимметричные части его тела расположены не на своих местах. Правая доля его печени расположена с левой стороны, левая - с правой, аналогично перепутаны и лёгкие. ‹…› Он может писать только левой рукой, причём справа налево”.

Уэллс объясняет происшедшие с Платтнером изменения выходом в другой мир, в четвёртое измерение: “Если вы вырежете из бумаги любую фигуру, имеющую правую и левую стороны, вы можете легко переместить эти стороны, если подымете и перевернёте фигуру. Но с предметом объёмным дело обстоит иначе. Теоретики-математики говорят нам, что единственный способ, посредством которого правая и левая сторона какого-нибудь твёрдого тела могут перемениться, - это если изъять тело из пространства (в том виде, в каком мы понимаем пространство), вынуть его из обычных условий и переместить куда-то вне пространства. ‹…› Случившаяся у Платтнера перемена местами правой и левой частей есть не что иное, как доказательство того, что он переходил из нашего пространства в так называемое Четвёртое Измерение, а затем снова вернулся в Наш Мир”.

Здесь существенна заключённая в скобки оговорка: “…в том виде, в каком мы понимаем пространство…” Имеется в виду стандартное, школьное понимание пространства. Математики, однако, обнаружили теоретическую возможность такой формы трёхмерного пространства, что поменять местами правую и левую части тела можно и без выхода за пределы этого пространства. При стандартном школьном понимании формы окружающего нас трёхмерного пространства действительно никаким перемещением в этом пространстве невозможно превратить кисть правой руки в кисть левой руки. Но это невозможно именно при стандартном школьном понимании. Существуют, однако, и иные формы пространства, допускающие такое перемещение. Попытаемся разъяснить, как такое может быть.

Как справедливо замечает Уэллс, вырезанный из бумаги силуэт правой ладони невозможно превратить в силуэт левой ладони, ограничиваясь перемещением по плоской поверхности стола; чтобы это сделать, надо поднять силуэт над столом, то есть выйти в третье измерение, перевернуть и снова положить на стол. Существует, однако, такая поверхность, перемещением по которой правое превращается в левое. Два немецких математика, Иоганн Бенедикт Листинг и Август Фердинанд Мёбиус, независимо друг от друга открыли её в 1858 году. По имени одного из них поверхность получила название лист Мёбиуса.

Изображение листа Мёбиуса можно встретить на обложках математических изданий и значках математических сообществ (в частности - на значке мехмата Московского университета). Рекомендуем любезному читателю самому изготовить эту знаменитую поверхность. Сделать это просто. Если взять бумажную ленту и склеить её торцы, то полученная поверхность будет боковой поверхностью цилиндра. Если же перед склеиванием ленту крутануть на 180 градусов, как раз и получится лист Мёбиуса. Во избежание недоразумений повторим сказанное на языке математики. Надо взять прямоугольник ABCD, у которого сторона AB параллельна стороне CD, а сторона AD параллельна стороне BC, и склеить друг с другом стороны AD и BC (“торцы”). Склейку можно производить различными способами. Если сделать это без перекрутки, точка A склеится с точкой B, а D - с C, и получится боковая поверхность цилиндра. Если же A склеить с C, а D с B, получим лист Мёбиуса. Случается, что, подпоясавшись и застегнув ремень, вы обнаруживаете, что ремень перекрутился; такой перекрученный и застёгнутый ремень может служить примером листа Мёбиуса³.

Лист Мёбиуса обладает рядом замечательных свойств. Так, он имеет всего лишь одну сторону. Чтобы убедиться в этом, проделаем такой мысленный эксперимент. Представим себе сделанный из прочного материала и расположенный в невесомости лист Мёбиуса, поставим на него человека и попросим этого человека прогуляться. Можно выбрать такой маршрут, что в какой-то момент прогулки человек окажется в положении антипода по отношению к тому положению, какое он имел в исходный момент. Ясно, что ни для боковой поверхности цилиндра, ни для плоскости, ни для сферы такая прогулка невозможна. Лист бумаги можно закрасить с одной стороны в чёрный цвет, оставив другую его сторону незакрашенной. Точно так же и поверхность цилиндра, и сферу можно выкрасить с одной стороны, оставив другую незакрашенной. Поступить так с листом Мёбиуса не удастся. И плоскость, и поверхность цилиндра, и сфера суть поверхности двусторонние. Лист же Мёбиуса является односторонней поверхностью.

Другое свойство листа Мёбиуса особенно важно для целей нашего изложения. Оно состоит в так называемой неориентируемости. Лист Мёбиуса, как и всякая поверхность, не имеет толщины. Если на листе изображён силуэт ладони, то невозможно сказать, правая она или левая, - это зависит от того, с какой стороны посмотреть. (Читатель да не смутится употреблением здесь слова “сторона”: лист Мёбиуса в целом односторонен, но тот малый его участок, на котором изображена ладонь, двусторонен, и гуляющий по этому участку не может стать своим антиподом.) Если рядом изображены две ладони, то можно сказать, одинаковы ли они или же одна есть зеркальное отражение другой. Так вот, можно совершить такое передвижение силуэта ладони по листу Мёбиуса, при котором этот силуэт вернётся на прежнее место зеркально отражённым, а возможность такого передвижения и означает неориентируемость. Каждый может проверить наличие указанной возможности; для наглядности полезно представлять себе лист Мёбиуса изготовленным из промокательной бумаги, так что любой рисунок, нанесённый чернилами, проступает насквозь. Снова прибегнем к методу аналогии и перенесёмся из двумерного мира в трёхмерный. Очень трудно представить себе трёхмерную геометрическую фигуру, которая была бы неориентируемой, то есть такой, внутри которой возможна траектория, приводящая к зеркальному отражению. В нашем обычном трёхмерном пространстве такие фигуры не умещаются. Те из них, которые компактны и не имеют края, не умещаются даже в “обычном” (то есть евклидовом) четырёхмерном пространстве - подобно тому, как неориентируемые компактные поверхности без края не умещаются в трёхмерном пространстве (умещающийся в трёхмерном пространстве лист Мёбиуса имеет край). Однако уже не вызывает протеста предположение о существовании таких фигур в высших измерениях - ведь и двумерный лист Мёбиуса, не умещаясь на плоскости, требует для своего размещения трёхмерного пространства. И действительно, все неориентируемые трёхмерные тела хорошо себя чувствуют в пятимерном евклидовом пространстве.

Итак, неориентируемая поверхность - это поверхность, перемещая по которой силуэт правой ладони можно (без выхода за пределы поверхности!) превратить его в силуэт левой ладони. Лист Мёбиуса - самая известная и самая простая из неориентируемых поверхностей. Из других наиболее известна так называемая бутылка Клейна, названная по имени знаменитого немецкого математика Феликса Клейна, запустившего её в математический оборот в 1874 году. Представим себе бутылку с очень длинным и очень гибким горлышком. Толщиной материала, из которого изготовлена бутылка, мы пренебрегаем, так что бутылку воспринимаем как двумерную фигуру, то есть как поверхность. Можно ли изогнуть горлышко так, чтобы дотронуться им до дна бутылки? Разумеется, можно; прикосновение при этом произойдёт с наружной стороны дна. Коснуться же горлышком дна изнутри бутылки невозможно, для этого горлышку пришлось бы пройти сквозь стенку. Но вот если бы это удалось, как раз и получилась бы бутылка Клейна.