Проблема - это всегда требование что-то найти, указать. Это «что-то» может иметь самую различную природу: это может быть ответ на заданный вопрос, законопроект, доказательство теоремы, число (при решении уравнений), последовательность геометрических построений (при решении геометрических задач на построение). Опыт математики позволяет провести точную грань между проблемами нерешёнными и проблемами нерешимыми. Первые ждут своего решения, вторые же решения не имеют и иметь не могут, у них решения просто-напросто не существует.

К числу первых долгое время относилась проблема Ферма. В математике таких проблем много, но абсолютное большинство из них требует для понимания их формулировок специального образования. Нерешённых проблем с простыми формулировками гораздо меньше. Из них наиболее известны, пожалуй, следующие четыре проблемы теории чисел. Теория чисел (в ортодоксальном понимании этого термина) занимается только положительными целыми числами. Поэтому только такие числа разумеются здесь под словом «число».

Две проблемы о совершенных числах. Число 6 делится на 1, на 2, на 3 и на 6 - эти числа 1, 2, 3, 6 суть делители числа 6. Если из списка делителей числа 6 мы удалим само это число, а остальные сложим, получим 6. Действительно, 1 + 2 + 3 = 6. Тем же свойством обладает число 28. Eго делителями служат числа 1, 2, 4, 7, 14, 28. Если их все, кроме 28, сложить, получим как раз 28: действительно, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. В VI веке до н. э. это редкое свойство чисел вызывало мистический восторг у Пифагора и его учеников: по их мнению, оно свидетельствовало об особом совершенстве числа, обладающего таким свойством. А потому каждое число, совпадающее с суммой своих делителей, отличных от самого этого числа, получило титул совершенного. Первые четыре совершенных числа (6, 28, 496 и 8128) были известны уже во II веке н. э. А в сентябре 2006 года было обнаружено сорок четвёртое совершенное число; оно колоссально, в его десятичной записи около двадцати миллионов знаков. Все найденные совершенные числа оказались чётными. И вот две простые по формулировке, но не решённые до сих пор проблемы. Существуют ли нечётные совершенные числа? Конечна или бесконечна совокупность всех совершенных чисел? Эквивалентная формулировка второй проблемы: существует ли наибольшее совершенное число?

Две проблемы о простых числах. Напомним (мы говорим «напомним», потому что теоретически это должно быть известно из средней школы), что простым называется такое число, которое, во-первых, больше единицы, а во-вторых, не имеет других делителей, кроме единицы и самого себя. Ещё в III веке до н. э. в «Началах» Евклида было установлено, что среди простых чисел нет наибольшего, их ряд 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и т. д. никогда не кончается; иными словами, совокупность простых чисел бесконечна. Предложение 20 девятой книги «Начал» гласит, что простых чисел больше, чем в любом предъявленном списке таковых; доказательство же этого предложения состоит в описании способа, позволяющего для любого списка простых чисел указать простое число, в этом списке не содержащееся. Отметим, что Евклид нигде не говорит о совокупности простых чисел в целом - само представление о бесконечных совокупностях как об особых сущностях появилось значительно позже. Когда-то изучение простых чисел рассматривалось как чистая игра ума; оказалось, что они играют решающую роль во многих практических задачах криптографии.

Среди нерешённых проблем, связанных с простыми числами, приведём две: проблему Гольдбаха - Эйлера и проблему близнецов.

Первая была поставлена в 1742 году великим Леонардом Эйлером в его переписке с Христианом Гольдбахом. Основная деятельность обоих протекала в России; в 1764 году Гольдбах был похоронен в Москве, а Эйлер в 1783 году - в Петербурге.

Кто есть Эйлер, один из самых великих математиков за всю историю человечества, и в чём заключается его величие - всё это легко узнать, если заглянуть, как встарь, в энциклопедический словарь. Сведения же о том, что собой представляет Гольдбах, словари дают скупо; такие сведения следует искать в специальной литературе или же в Интернете; некоторые из фактов заслуживают того, чтобы здесь их изложить. Хотя математические статьи, опубликованные Гольдбахом в научных журналах, и не оставили сколько-нибудь заметного следа в математике, он был признанным членом математического сообщества своего времени. Он был лично знаком или состоял в переписке с рядом выдающихся умов, в том числе с Лейбницем и с Эйлером; переписка с Эйлером продолжалась 35 лет и прекратилась лишь со смертью Гольдбаха. Один из историков науки (кстати, правнук Эйлера и непременный секретарь Петербургской академии наук) писал: «Его [Гольдбаха] переписка показывает, что если он не прославился ни в одной специальности, то это следует приписать большой универсальности его познаний. То мы видим его обсуждающим ‹…› кропотливые вопросы классической и восточной филологии; то он пускается в нескончаемые археологические споры ‹…›». В своих письмах Гольдбах предстаёт как человек, наделённый и интуицией, и способностью чувствовать новое. Проблема Гольдбаха - Эйлера, например, возникла как реакция Эйлера на некое предположение, сообщённое ему Гольдбахом (предположение состояло в том, что всякое целое число, большее, чем 2, разлагается в сумму трёх слагаемых, каждое из коих есть либо простое число, либо единица). В России, куда он приехал в 1725 году в тридцатипятилетнем возрасте, Гольдбах сделал головокружительную карьеру. Он сразу получил место секретаря, а также историографа организуемой во исполнение замысла Петра I Императорской академии наук; именно он вёл (на латинском языке) первые протоколы Академии. С 1737 по 1740 год он был одним из двух лиц, осуществлявших административное управление Академией (другим был Шумахер; обоим по этому случаю был присвоен ранг коллежского советника). В конце 1727 года он был назначен наставником двенадцатилетнего императора Петра II. Рассказывают, что руководство по обучению царских детей, составленное Гольдбахом в 1760 году, применялось на практике в течение ста последующих лет. В 1742 году Гольдбах сделался ответственным работником министерства иностранных дел (как сказали бы теперь), стал получать награды, земли и чины и к 1760 году дослужился до чина тайного советника. Чин этот довольно точно отражал его обязанности, поскольку Гольдбах состоял в должности криптографа. Эйлеру тоже захотелось чина. Однако Екатерина II, благосклонно встретившая пожелания Эйлера относительно жалованья, казённой квартиры и обеспечения его трёх сыновей позициями и доходами, весьма дипломатично отказала: «Я дала бы, когда он хочет, чин, если бы не опасалась, что этот чин сравняет его с множеством людей, которые не стоят г. Эйлера. Поистине его известность лучше чина для оказания ему должного уважения».

Перейдем, однако, к сути названных проблем.

Непосредственное наблюдение подсказывает, что всякое чётное число, большее двух, удаётся представить в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых является простым числом: 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7,…, 24 = 5 + 19,…, 38 = 7 + 31 и т. д. Однако проверке может быть подвергнуто лишь ограниченное количество чётных чисел, а всего их бесконечно много. Имеющиеся свидетельства, полученные от просмотра конечного (пусть гигантского) количества примеров, не могут гарантировать, что когда-нибудь в будущем не появится астрономически большого чётного числа, для которого разложение на два простых слагаемых невозможно. А ведь современные компьютеры позволяют строить и использовать для важных практических целей числа с сотнями десятичных знаков. Вот и встаёт вопрос: всякое ли чётное число, большее двух, можно представить как сумму двух простых слагаемых? Проблема отыскания ответа на это вопрос и есть проблема Гольдбаха - Эйлера.