Схема испытаний с конечным числом исходов недостаточна уже для самых простых применений В. т. Так, при изучении случайного разброса точек попаданий снарядов вокруг центра цели, при изучении случайных ошибок, возникающих при измерении какой-либо величины, и т.д. уже невозможно ограничиться испытаниями с конечным числом исходов. При этом в одних случаях результат испытания может быть выражен числом или системой чисел, в других — результатом испытания может быть функция (например, запись изменения давления в данной точке атмосферы за данный промежуток времени), системы функций и т.п. Следует отметить, что многие данные выше определения и теоремы с незначительными по существу изменениями приложимы и в этих более общих обстоятельствах, хотя способы задания распределений вероятностей изменяются (см. Распределения , Плотность вероятности ).

  Наиболее серьёзное изменение претерпевает определение вероятности, которое в элементарном случае давалось формулой (2). В более общих схемах, о которых идёт речь, события являются объединениями бесконечного числа исходов (или, как говорят, элементарных событий), вероятность каждого из которых может быть равна нулю. В соответствии с этим свойство, выраженное теоремой сложения, не выводится из определения вероятности, а включается в него.

  Наиболее распространённая в настоящее время логическая схема построения основ В. т. разработана в 1933 советским математиком А. Н. Колмогоровым. Основные черты этой схемы следующие. При изучении какой-либо реальной задачи — методами В. т. прежде всего выделяется множество U элементов u, называемых элементарными событиями. Всякое событие вполне описывается множеством благоприятствующих ему элементарных событий и потому рассматривается как некое множество элементарных событий. С некоторыми из событий А связываются определённые числа Р (A ), называемые их вероятностями и удовлетворяющие условиям

  1. 0 £ Р (А ) £ 1,

  2. P (U ) = 1,

  3. Если события A₁ ,..., A_n попарно несовместны и А — их сумма, то

  Р (А ) = Р (A₁ ) + P (A₂ ) + … + Р (A_n ).

  Для создания полноценной математической теории требуют, чтобы условие 3 выполнялось и для бесконечных последовательностей попарно несовместных событий. Свойства неотрицательности и аддитивности есть основные свойства меры множества. В. т. может, таким образом, с формальной точки зрения рассматриваться как часть меры теории . Основные понятия В. т. получают при таком подходе новое освещение. Случайные величины превращаются в измеримые функции, их математические ожидания — в абстрактные интегралы Лебега и т.п. Однако основные проблемы В. т. и теории меры различны. Основным, специфическим для В. т. является понятие независимости событий, испытаний, случайных величин. Наряду с этим В. т. тщательно изучает и такие объекты, как условные распределения, условные математические ожидания и т.п.

  Предельные теоремы. При формальном изложении В. т. предельные теоремы появляются в виде своего рода надстройки над ее элементарными разделами, в которых все задачи имеют конечный, чисто арифметический характер. Однако познавательная ценность В. т. раскрывается только предельными теоремами. Так, Бернулли теорема показывает, что при независимых испытаниях частота появления какого-либо события, как правило, мало отклоняется от его вероятности, а Лапласа теорема указывает вероятности тех или иных отклонений. Аналогично смысл таких характеристик случайной величины, как её математическое ожидание и дисперсия, разъясняется законом больших чисел и центральной предельной теоремой (см. Больших чисел закон . Предельные теоремы теории вероятностей).

  Пусть

  X₁ , Х₂ ,..., X_n , ...     (7)

— независимые случайные величины, имеющие одно и то же распределение вероятностей с EX_k = а,   DX_k = s² и Y_n — среднее арифметическое первых n величин из последовательности (7):

  Y_n = (X₁ + X₂ + … +X_n )/n.

  В соответствии с законом больших чисел, каково бы ни было e > 0, вероятность неравенства |Y_n — a| £ e имеет при n ®¥ пределом 1, и, таким образом, Y_n как правило, мало отличается от а. Центральная предельная теорема уточняет этот результат, показывая, что отклонения Y_n от а приближённо подчинены нормальному распределению со средним 0 и дисперсией s² / n. Таким образом, для определения вероятностей тех или иных отклонений Y_n от а при больших n нет надобности знать во всех деталях распределение величин X_n , достаточно знать лишь их дисперсию.

  В 20-х гг. 20 в. было обнаружено, что даже в схеме последовательности одинаково распределённых и независимых случайных величин могут вполне естественным образом возникать предельные распределения, отличные от нормального. Так, например, если X ₁ время до первого возвращения некоторой случайно меняющейся системы в исходное положение, Х₂ — время между первым и вторым возвращениями и т.д., то при очень общих условиях распределение суммы X₁ +... + X_n (то есть времени до n- го возвращения) после умножения на n ¹ /^a (а — постоянная, меньшая 1) сходится к некоторому предельному распределению. Таким образом, время до n- го возвращения растет, грубо говоря, как n ¹ /^a , то есть быстрее n (в случае приложимости закона больших чисел оно было бы порядка n ).

  Механизм возникновения большинства предельных закономерностей может быть до конца понят лишь в связи с теорией случайных процессов.

  Случайные процессы. В ряде физических и химических исследований последних десятилетий возникла потребность, наряду с одномерными и многомерными случайными величинами, рассматривать случайные процессы , то есть процессы, для которых определена вероятность того или иного их течения. Примером случайного процесса может служить координата частицы, совершающей броуновское движение. В В. т. случайный процесс рассматривают обычно как однопараметрическое семейство случайных величин Х (t ). В подавляющем числе приложений параметр t является временем, но этим параметром может быть, например, точка пространства, и тогда обычно говорят о случайной функции. В том случае, когда параметр t пробегает целочисленные значения, случайная функция называется случайной последовательностью. Подобно тому, как случайная величина характеризуется законом распределения, случайный процесс может быть охарактеризован совокупностью совместных законов распределения для X (t₁ ), X (t₂ ),..., X (t_n ) для всевозможных моментов времени t₁ , t₂ ,..., t_n при любом n > 0. В настоящее время наиболее интересные конкретные результаты теории случайных процессов получены в двух специальных направлениях.

  Исторически первыми изучались марковские процессы . Случайный процесс Х (t ) называется марковским, если для любых двух моментов времени t и t₁ (t < t₁ ) условное распределение вероятностей X (t₁ ) при условии, что заданы все значения Х (t ) при t £ t , зависит только от X (t ) (в силу этого марковские случайные процессы иногда называют процессами без последействия). Марковские процессы являются естественным обобщением детерминированных процессов, рассматриваемых в классической физике. В детерминированных процессах состояние системы в момент времени t однозначно определяет ход процесса в будущем; в марковских процессах состояние системы в момент времени t однозначно определяет распределение вероятностей хода процесса при t > t , причём никакие сведения о ходе процесса до момента времени t не изменяют это распределение.