(a , b ) = |a ||b |cosj.

  Величина |b |cosj называется проекцией вектора b на ось, определяемую вектором а , и обозначается пр_a b . Поэтому (a, b ) = |a |пр_a b . В частности, если a — единичный вектор (|a | = 1 ), то (а, b ) = пр_a b . Очевидны следующие свойства скалярного произведения:

  (а , b ) = (b , а ), (lа , b ) = l (а , b ),

  (а + b , с ) = (а , с ) + (b , с ), (a , а ) ³ 0,

  причём равенство нулю имеет место лишь при a = . Если в ортонормированном базисе i, j, k векторы а и b имеют соответственно координаты íX₁ , Y₁ , Z₁ ý и íХ₂ , Y₂ , Z₂ ý, то     (a , b ) = X₁ X₂ + Y₁ Y₂ + Z₁ Z_2,

 

  Для определения векторного произведения векторов нужно понятие левой и правой упорядоченной тройки векторов. Упорядоченная тройка векторов а, b, с (а — первый вектор, b — второй, с — третий), приведённых к общему началу и не лежащих в одной плоскости, называется правой (левой), если они располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки. На рис. 6 изображены справа — правая, а слева — левая тройки векторов.

  Векторным произведением векторов a и b называют вектор, обозначаемый [a, b ] и удовлетворяющий следующим требованиям: 1) длина вектора [a, b ] равна произведению длин векторов a и b на синус угла j между ними (таким образом, если a и b коллинеарны, то [a, b ] = ); 2) если a и b неколлинеарны, то [a, b ] перпендикулярен каждому из векторов a и b и направлен так, что тройка векторов a , b, [a, b ] является правой. Векторное произведение обладает следующими свойствами:

[a , b ] = — [b , а ], [(la ), b ] = l [a , b ],

[с , (a + b )] = [с , a ] + [с , b ], [a , [b , с ]] = b (a , с ) — с (a , b ),

([a , b ], [с , d ]) = (a , c )(b , d ) — (a , d )(b , c ).

  Если в ортонормированном базисе i, j, k , образующем правую тройку, векторы a и b имеют соответственно координаты íX₁ , Y₁ , Z₁ ý и íX₂ , Y₂ , Z₂ ý, то [a, b ] = íY₁ Z₂ — Y₂ Z₁ , Z₁ X₂ — Z₂ X₁ , X₁ Y₂ — X₂ Y₁ ý. Понятие векторного произведения связано с различными вопросами механики и физики. Например, скорость v   точки М тела, вращающегося с угловой скоростью со вокруг оси l, равна [w, r ], где 

  Смешанным произведением векторов a, b и c называется скалярное произведение вектора [a, b ] на вектор с : ([a, b ], с ). Обозначается смешанное произведение символом abc . Смешанное произведение не параллельных одной плоскости векторов a , b и с численно равно объёму параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a , b и с , взятому со знаком плюс, если тройка a , b и с правая, и со знаком минус, если тройка левая. Если же векторы a , b и с параллельны одной плоскости, то abc = 0 . Справедливо также следующее свойство abc = bca = cab . Если координаты векторов a , b и с в ортонормированном базисе i, j, k , образующем правую тройку, соответственно равны íX₁ , Y₁ , Z₁ ý, íX₂ , Y₂ , Z₂ ý и íХ₃ , Y₃ , Z₃ ý, то

 

  Вектор-функции скалярных аргументов. В механике, физике, дифференциальной геометрии широко используется понятие вектор-функции одного или нескольких скалярных аргументов. Если каждому значению переменной t из некоторого множества ít ý ставится в соответствие по известному закону определённый вектор r , то говорят, что на множестве ít ý задана вектор-функция (векторная функция) r = r (t ). Так как вектор r определяется координатами íx, y, z ý, то задание вектор-функции r = r (t ) эквивалентно заданию трёх скалярных функций: х = x (t ), y = y (t ), z = z (t ). Понятие вектор-функции становится особенно наглядным, если обратиться к так называемому годографу этой функции, то есть к геометрическому месту концов всех векторов r (t ), приложенных к началу координат О (рис. 7 ). Если при этом рассматривать аргумент t как время, то вектор-функция r (t ) представляет собой закон движения точки М, движущейся по кривой L — годографу функции r (t ).

  Для изучения вектор-функций важную роль играет понятие производной. Это понятие вводится следующим образом: аргументу t придаётся приращение Dt ¹ 0 и вектор Dr = r (t + Dt ) — r (t ) (на рис. 7 это вектор

) множится на 1/Dt . Предел выражения Dr /Dt при Dt ® 0 называется производной вектор-функции r (t ) и обозначается r ' (t ) или dr /dt . Производная представляет собой вектор, касательный к годографу L в данной точке М. Если вектор-функция рассматривается как закон движения точки по кривой L, то производная r ' (t ) равна скорости движения этой точки. Правила вычисления производных различных произведений вектор-функций подобны правилам вычисления производных произведений обычных функций. Например,