Настоящая математика начинается с достижения, известного как теорема Пифагора. Египтяне сделали некоторые первые шаги в геометрии для того, чтобы, как говорят, измерять рисовые поля после наводнений. Они заметили, что треугольник, стороны которого соответственно 3,4 и 5 единиц длины, имеет прямой угол. Пифагор (или какой-то его ученик) отметил интересный факт в отношении этого треугольника. Если вы построите квадраты на сторонах этого треугольника, один из них будет иметь 9 квадратных единиц, другой 16, а третий – 25, а 9 + 16 = 25. Пифагор (или его ученик) обобщил этот факт и доказал, что в любом прямоугольном треугольнике квадраты коротких сторон в сумме равны квадрату длинной стороны. Это было наиболее важное открытие, воодушевившее греков на создание науки геометрии, что они и сделали с изумительным мастерством.
Но помимо этого открытия возникло и беспокойство, которое тревожило как греков, так и современных математиков и было полностью устранено лишь совсем недавно. Предположим, дан прямоугольный треугольник, в котором катеты имеют длину один дюйм; в таком случае какую длину будет иметь третья сторона? Квадрат каждого катета равен одному квадратному дюйму, следовательно квадрат гипотенузы будет равен двум квадратным дюймам. Значит длина гипотенузы должна измеряться таким числом, чтобы квадрат этого числа был равен 2. Это число называется «квадратный корень из 2». Греки вскоре сделали открытие, что такого числа нет. Вы сами можете легко в этом убедиться. Это число не может быть целым, поскольку 1 для него слишком мала, а 2 – слишком велика. А если вы умножите дробь на дробь, то вы получите другую дробь, но не целое число; поэтому ни одна дробь, помноженная на самое себя, не даст вам 2. Значит, квадратный корень из двух не является ни целым числом, ни дробью. Чем это может быть еще, оставалось тайной, но математики продолжали с надеждой использовать этот пример, говорить о нем, ожидая, что однажды они поймут, о чем они говорят. И в конце концов эти надежды оправдались.
Сходная проблема возникла с тем, что называется «кубический корень из 2». Иными словами, с числом x таким, что x, помноженное на x, помноженное на х равно 2. Некий город, согласно легенде, страдал от разного рода напастей и, наконец, послал гонца к Дельфийскому оракулу, чтобы узнать причину этих несчастий. Бог сообщил, что его статуя в посвященном ему храме в этом городе слишком мала, и он хочет, чтобы статуя была в два раза больше. Жители поспешили выполнить пожелание Господа и сначала решили сделать статую в два раза выше, чем прежняя. Но потом они поняли, что она должна быть также в два раза шире и толще, на что понадобится в восемь раз больше материала, значит на самом деле статуя будет в восемь раз больше. Но это больше, чем приказал оракул, и большая трата денег. Насколько тогда должна быть шире старой новая статуя, если в целом она должна быть в два раза больше? Жители послали гонца к Платону узнать, может ли кто-нибудь из его школы помочь им найти ответ. Платон сформулировал проблему для математиков. Однако лишь несколько столетий спустя они сделали вывод, что данная проблема неразрешима. Конечно, можно найти приблизительное решение, но так же, как и в случае с квадратным корнем из двух, ни одна из дробей не дает точного ответа. Несмотря на то, что проблема не была решена, в поисках ее решения было проделано много полезной работы.
Оставим античность и обратимся к современности, к проблемам, стоящим перед страховыми компаниями. Предположим, вы хотите застраховать свою жизнь с тем, чтобы ваша вдова получила 1000 долларов после вашей смерти. Сколько вы должны платить каждый год? Предположим, что вы в таком возрасте, что среднестатистический мужчина живет еще 20 лет. Если вы платите 50 долларов в год, то в течение 20 лет вы заплатите 1000 долларов, и, на первый взгляд, вы сочтете правильным то, что страховая компания назначит вам ежегодный взнос в 50 долларов. На самом деле это будет слишком высокий взнос, поскольку существует еще процентный доход. Предположим, вы прожили еще 20 лет, ваши первые 50 долларов страховая компания инвестировала в какое-либо дело и получила прибыль; прибыль также была инвестирована, и т. д.; вы можете подсчитать, сколько прибыли принесут ваши 50 долларов за 20 лет постоянного инвестирования. Подсчитайте, что следующие 50 долларов будут инвестироваться в течение 19 лет и тоже принесут прибыль, и т. д. Таким образом, ваши взносы в течение 20 лет принесут страховой компании гораздо больше, чем 1000 долларов. Действительно, если страховая компания получает 4% прибыли со своих инвестиций, ваши ежегодные взносы в 50 долларов принесут ей в течение 20 лет 1500 долларов.
Сделав подобные расчеты, вы узнаете, как нужно делать расчеты в так называемых «геометрических прогрессиях».
«Геометрическая прогрессия» – это ряды чисел, в которых каждое число, кроме первого, является кратным предыдущему. Например, 1, 2, 4, 8,16,… – это геометрическая прогрессия, в которой каждое число является удвоением предыдущего; 1, 3, 9, 27, 81,… – это геометрическая прогрессия, в которой каждое число является утроением предыдущего; 1,1/2,1/4,1/8,1/16,… – это прогрессия, в которой каждое число является половиной предыдущего, и т. д.
Вернемся теперь к нашему доллару, инвестированному исходя из 4% годовых. В конце года это будет 1,04 доллара. В конце второго года у вас будет 1,04 доллара плюс 4% от этой суммы; это 1,04 раза по 1,04, т. е. (1,04)2. В конце третьего года это будет (1,04)3 и т. д. Таким образом, если вы будете платить каждый год по одному доллару в течение 20 лет, то к концу этих 20 лет то, что вы заплатили, станет (1,04)20 + (1,04)19 +… + (1,04)2 + 1,04, что представляет собой геометрическую прогрессию.
Древние греки проявляли большой интерес к геометрическим прогрессиям, особенно к прогрессиям, уходящим в бесконечность. Например, 1/2 +1/4 + 1/8 + 1/16 +…в сумме никогда не дадут 1. Так же обстоит дело и с периодическими десятичными дробями.9999… Все это создает множество загадок, на решение которых уходит очень много времени.
Античная геометрия занималась не только линиями и кругами, но также и «коническими сечениями», которые представляют собой разного рода кривые линии – сочетания плоскости и конуса; иначе их можно определить, как всевозможные формы теней, отбрасываемых кругом на стену. Греки изучали их удовольствия ради, а не для практического использования, которое они презирали. Однако 2000 лет спустя, в XVII в., эти исследования вдруг приобрели огромное практическое значение. Развитие артиллерии показало людям, что если вы хотите попасть в удаленный объект, то должны целиться не прямо в этот объект, а немного выше него. Никто не знал точную траекторию пушечного ядра, но военное командование стремилось это узнать. Галилей, служивший у герцога Тосканского, нашел ответ: пушечные ядра движутся по параболе, представляющей особую разновидность конических сечений. Примерно в то же самое время сделал свое открытие и Кеплер: траекторией движения планет вокруг Солнца является эллипс – другая разновидность конических сечений. Таким образом, все знания, полученные раньше при изучении конических сечений, стали использоваться в военном деле, навигации и астрономии.
Чуть выше я сказал, что конические сечения – это тени кругов. Если у вас есть лампа с круглым отверстием, то вы сами для себя можете сделать различного рода конические сечения. Тень отверстия лампы на потолке (если только он не кривой) будет кругом, а вот его тень на стене будет гиперболой. Если вы возьмете кусок бумаги и подержите над отверстием лампы, то, если вы держите бумагу не точно в горизонтальном положении, тенью будет эллипс; если вы наклоните бумагу еще больше, эллипс станет длиннее и тоньше; первая тень, не являющаяся эллипсом, если вы наклоните бумагу еще больше, будет параболой; а после этого она станет гиперболой. Капли в фонтане падают вниз по параболе, так же, как и камни, падающие с утеса.
С математической точки зрения, как каждый может заметить, эффект теней тот же самый, что у перспективы. Изучение свойств, общих у фигуры со всевозможными тенями, называется «проективной» геометрией. Несмотря на то, что эта разновидность геометрии значительно легче той, которой занимались греки, она была открыта гораздо позже. Одним из первых это сделал Паскаль, к сожалению, решивший, что религиозные медитации важнее математики.