Более показательным примером является движение планет. Посредством наблюдения Кеплер доказал, что траекторией движения планет вокруг Солнца является эллипс, и открыл взаимосвязь расстояния планеты до Солнца и времени, в течение которого эта планета совершает полный оборот вокруг Солнца. Это открытие позволило Ньютону с помощью дифференциального исчисления определять скорость движения планеты в любой точке ее траектории; эта скорость непостоянна – она увеличивается по мере приближения планеты к Солнцу. Затем, еще раз использовав дифференциальное исчисление, Ньютон смог определить ускорение планеты в каждый момент времени, т. е. изменение ее скорости и по величине, и по направлению. Он обнаружил, что любая планета в любой момент времени обладает ускорением в направлении Солнца, которое обратно пропорционально квадрату ее расстояния до Солнца.

Затем с помощью интегрального исчисления Ньютон проанализировал другую задачу: если в любой момент времени тело обладает ускорением в направлении Солнца, которое обратно пропорционально квадрату его расстояния до Солнца, то по какой траектории оно будет двигаться? Ньютон доказал, что тело за равные промежутки времени будет покрывать равные по площади конические сечения. Наблюдение показало, что для планет и некоторых комет этим коническим сечением является эллипс; для некоторых других комет траекторией может быть гипербола. Это дополнение стало завершающим этапом в доказательстве закона тяготения Ньютона.

Однако исчисление применяется не только к изменению во времени. Оно применимо в любом таком случае, когда одна величина является «функцией» другой. Понятие «функции» очень важно, и я попытаюсь его объяснить.

Возьмем изменяющуюся величину. Другая величина называется ее «функцией» в том случае, если при заданном значении одной величины значение другой нужно вычислить. Например, если вам нужно перевезти определенное количество нефти на поезде, то число необходимых для этой перевозки вагонов является «функцией» количества нефти; если вам нужно накормить армию, то количество необходимых продуктов является «функцией» числа солдат. Если тело падает в вакууме, то расстояние, преодолеваемое им при падении, является «функцией» времени, в течение которого оно падало. Число квадратных футов ковра для данной квадратной комнаты является «функцией» длины стены комнаты, так же как и количество жидкости, которую можно залить в кубический контейнер. В одном случае функцией является квадрат, в другом – куб: для комнаты, длина стены которой в два раза больше, чем в данной, нужен в четыре раза больше ковер; а в контейнер, который в два раза выше данного, можно залить в восемь раз больше жидкости, если и другие его параметры также увеличены в два раза.

Некоторые функции очень сложны. Ваши налоги являются функцией вашего дохода, но лишь специалисты знают, какой конкретно функцией. Предположим, какой-то математически образованный специалист предложил использовать простую функцию, например, ваши налоги должны быть пропорциональны квадрату вашего дохода. Он дополнил свое предложение другим: ни один доход после уплаты налогов не должен превышать 25 000$. Как же эти предложения будут работать? Налоги должны быть одной сотой или тысячной частью квадрата вашего дохода в долларах. Для доходов, меньших, чем квадратный корень из 1000$ (это примерно 32$), налог должен быть меньше одного цента, и его невозможно будет собрать; для доходов в 1000$ налог будет 10$; для 2000$ – 40$; для 10 000$ – 1000$ и для 50 000$ – 25 000$. После этих выплат любое увеличение вашего дохода сделает вас беднее. Если ваш доход равен 100 000$, то налог будет равен вашему доходу, и вы будете разорены. Не думаю, что кто-либо будет защищать такую налоговую политику.

Для любой функции переменной x небольшое увеличение x будет сопровождаться небольшим увеличением или уменьшением функции, если функция дискретная. Например, пусть х – радиус круга, а функция – площадь круга, пропорциональная квадрату радиуса. Если радиус несколько увеличивается, то увеличивается площадь круга;

увеличение достигается умножением увеличения радиуса на окружность. Дифференциальное исчисление предоставляет степень (rate) увеличения функции при заданном небольшом увеличении переменной. С другой стороны, если вам известна степень увеличения функции относительно переменной, то интегральное исчисление покажет вам, каково будет в целом увеличение или уменьшение функции при изменении значений переменной. Самым простым из важнейших примеров этому является падение тела в вакууме. В данном случае ускорение тела является постоянной величиной; иными словами, увеличение скорости в любой данный момент времени пропорционально времени. Следовательно, скорость в любой момент времени пропорциональна времени, в течение которого тело падает. Исходя из этого интегральное исчисление показывает, что расстояние, преодолеваемое им при падении, пропорционально квадрату времени падения. Это можно доказать, и не используя интегрального исчисления, что было сделано Галилеем; однако в более сложных случаях интегральное исчисление является ключевым механизмом.

Математика, по крайней мере по ее собственному притязанию, является точным инструментом, и в тех случаях, когда она применяется к реальному миру, всегда существует неоправданное допущение точности. В природе не существует совершенных кругов или треугольников; планеты в реальности не движутся по точным эллипсам, а если бы и двигались, то мы бы об этом не знали. Наши возможности измерения и наблюдения ограничены. Я не говорю о том, что они имеют определенные пределы; напротив, технические достижения постоянно уменьшают эти ограничения. Однако невозможно, чтобы техника работала безошибочно или вне всяких ограничений, потому что какой бы аппарат мы не изобрели, мы, в конце концов, зависим от собственных ощущений, которые не могут различить две очень похожие вещи. Легко доказать, что существуют различия, невоспринимаемые нами. Возьмем, например, три очень близкие оттенка цвета А В и С. Возможно, вы не видите никакого различия между А и В, или между В и С, но видите различие между А и С. Это показывает, что должны существовать невоспринимаемые различия между A и B и между B и C. То же самое будет истинно и в том случае, если Л, В и С будут иметь почти одинаковую длину. Измерение длин, каким бы точным оно ни было, всегда должно оставаться приблизительным, хотя и очень близким приближением.

По этой причине точные научные измерения всегда даются с учетом «вероятной ошибки». Это означает, что данный результат скорее всего не будет выходить за пределы установленной области значений вероятной ошибки. Практически он более или менее точен, но маловероятно, что он не точен больше, чем на величину вероятной ошибки. Хотелось бы, чтобы и в других областях люди допускали то, что их мнения подвержены той или иной вероятной ошибке; но в действительности люди более догматичны в тех случаях, в которых меньше всего оснований для определенности и уверенности. Читатель, вспомнив наше определение «скорости», увидит, что оно предполагает невозможность мгновенного наблюдения. С эмпирической точки зрения, не может существовать такого явления, как мгновенная скорость, потому что для наших измерений времени и расстояния существуют определенные пределы. Предположим, что мы разработаем нашу технику до такого уровня, что сможем измерить сотую или тысячную долю секунды и сотую или тысячную долю сантиметра. В таком случае мы сможем сказать, на сколько сотых или тысячных долей сантиметра продвинулось очень маленькое тело, если оно движется со скоростью меньше, чем сантиметр в секунду. Но мы не сможем сказать, что оно делало в течение этого очень короткого промежутка времени: оно могло двигаться равномерно; оно могло сначала двигаться медленнее, а затем ускориться, или наоборот; оно могло также преодолеть все расстояние за один прыжок. Это последняя гипотеза, кажущаяся странной, на самом деле является частью квантовой теории как наилучшее объяснение некоторых явлений. Мы привыкли рассматривать как само собой разумеющееся, что пространство, время и движение непрерывны, но мы не можем знать этого, потому что не воспринимаем очень небольшие непрерывности. Вплоть до недавнего времени гипотеза непрерывности была рабочей; сегодня в ней начинают сомневаться, в частности в том, что касается очень маленьких явлений.