Одной из наиболее важных и сложных проблем, возникающих в связи с методом индукции, является открытие плодотворных аналогий и связанная с этим проблема разложения сложных явлений на составляющие, с тем чтобы проанализировать их по отдельности. Плодотворная аналогия – это аналогия, относящаяся к сходству в причинах, и поэтому исследователь вынужден начинать с изучения причины. Если землетрясения происходят, потому что гневается Бог, то аналогичными явлениями являются чума, зараза, голод и кометы. Так считали в средние века. Но современному исследователю видятся совершенно иные аналогии. Я как-то читал книгу физика, который некоторое время жил в Токио и поэтому заинтересовался землетрясениями. Разработав для них математическую теорию, он применил ее к вибрациям платформ поездов, беспокоившим железнодорожные компании. Возьмем другой пример: для нас аналогия между молнией и электрическим разрядом очевидна; но в средние века считали, что если человека убила молния, то это была кара за его греховную жизнь. Современные ученые, изучающие грозы, задают себе следующий вопрос: «Каково состояние атмосферы во время грозы и без нее?» Пытаясь ответить на этот вопрос, ученый стремится воспроизвести аналогичные грозе условия у себя в лаборатории или, если это невозможно, изучает иные природные явления, похожие, как он полагает, на то, которое интересует его по своим существенным характеристикам. Только результаты его исследований могут показать, прав он был в своем предположении или нет.

Целью индуктивной логики является формулировка общих законов на основании конкретных обстоятельств. Дедуктивная логика поступает противоположным образом: она начинает с общих посылок и, таким образом, имеет дело с вопросом: «Как мы получили эти посылки?» Чистая математика отвечает: «Мы знаем о них, потому что это лишь словесные формулировки». Утверждение «дважды два четыре» похоже на утверждение «в ярде три фута». Мы не проверяли его с помощью наблюдения, потому что это не закон природы, а наше собственное решение о том, как мы будем использовать эти слова. Вот почему чистая математика способна существовать, не прибегая к наблюдениям или экспериментам.

Однако вне логики и чистой математики вопрос об общих посылках не решается столь просто. Рассмотрим еще раз знаменитый силлогизм традиционной формальной логики: «Все люди смертны; Сократ человек; значит, Сократ смертен». Откуда вы знаете, что все люди смертны? Вы знаете на основании индуктивного вывода, который, как и любой индуктивный вывод, обладает лишь высокой степенью вероятности, но не является определенно истинным. Утверждение «Все люди смертны» само по себе является заключением рассуждения, посылки которого таковы: А умер, В умер, С умер и т. д. Поскольку все живущие сейчас люди не умерли, вы должны так сформулировать свои посылки, чтобы этот факт не сыграл против вашего заключения. Допустим, что нет статистических данных о том, что кто-либо прожил до 160 лет, поэтому вы можете сформулировать посылку: «A, B, C… не живут до 150 лет». Для этого утверждения нет исключений. Вы можете продолжить свое рассуждение: «Поэтому, вероятно, все люди умирают прежде, чем им исполнится 150 лет», а затем вы можете завершить дедукцию в отношении Сократа (который, как мы предположили, все еще жив). Но это глупый окружной путь. Если ваши посылки делают общее утверждение вероятным, то утверждению о Сократе они придают значительно большую вероятность; поскольку если бы для этого общего утверждения существовало бы несколько редких исключений, непохоже, чтобы Сократ был именно таким редким исключением, делающим общее утверждение ложным. Лучше сказать так: «Согласно всем статистическим данным люди умирают в возрасте до 150 лет; поэтому, вероятно, то же самое произойдет и с этим конкретным человеком».

Однако это рассуждение имеет форму простого перечисления, и, как мы видели, подобные аргументы могут быть усилены с помощью открытия общих законов, делающих наш конкретный случай примером гораздо более широкого обобщения. Вместо того чтобы ограничивать свое рассуждение людьми, мы можем построить свое рассуждение относительно всех многоклеточных животных и растений. Мы могли бы пойти и дальше, вплоть до рассмотрения причин, по которым химические компоненты изменяют свой химический состав. Это иллюстрация того, почему так важен поиск общих законов. Они придают невероятно высокую определенность, не подменяя индукцию дедукцией, но придавая более широкое основание для исходного перечисления, от которого зависят все индуктивные рассуждения.

Наиболее важное использование дедукции состоит в выводе следствий из гипотез, подлежащих проверке с помощью наблюдений или экспериментов. Если гипотеза истинна, все ее дедуктивные следствия истинны; если она ложна, то некоторые из ее следствий все равно истинны, но некоторые – ложны. Следовательно, если все следствия, которые мы смогли проверить, истинны, весьма вероятно, что гипотеза истинна или близка к истине. Вывод следствий часто связан с довольно сложными математическими процедурами; это одна из причин важности математики в открытии общих законов. Когда сформулированные законы приняты, математика важна при выводе следствий, которые принимаются как истинные. Часто бывает существенно иметь основание для принятия следствий до проведения экспериментов. Например, при строительстве железнодорожного моста мы не можем пустить по нему поезд с целью проверки его прочности. В подобных случаях мы полагаемся на общие законы, полученные с помощью индукции из предыдущих экспериментов. Есть доля вероятности того, что индукция будет ошибочна, но она гораздо меньше, чем другие, возможные в практической жизни, риски, например обман партнера по строительству моста.

Начиная с времен Пифагора и вплоть до появления современной науки в XVII в., математика ошибочно рассматривалась как способ получения знания и наиболее полезный вид логики. Полагали, что общие посылки мы узнаем с помощью интуиции. Божественного откровения или вспоминая предыдущий опыт. Если бы это действительно было так, то все, что мы знаем, можно было бы получить посредством дедукции. Аристотель все же думал иначе, поэтому он оставил место и для индукции; а вот Фома Аквинский на самом деле считал именно так. Из этого следует, что в получении знаний наблюдения играют, конечно, подчиненную роль. Аристотель, возможно из религиозных соображений, провозгласил, что все в небесах, по крайней мере ниже Луны, нерушимо. Его утверждение сделало невозможным выработку правильной теории метеоритов и новых звезд. Ученые, получившие результаты наблюдений, показывающие, что старая теория неверна, считались плохими учеными, и приводимые ими факты игнорировались. Такое особое подчеркивание дедукции, тесно связанное с верой в самоочевидность общих принципов, было одной из причин безрезультатности в развитии науки в Средние века. Конечно, это было связано с дедуктивным по сути характером теологии и, в целом, с господством религиозного мировоззрения в то время.

Читатель уже заметил в нашем изложении частое употребление понятия «вероятность». Это характерная черта современной логики в противовес античной и средневековой логике. Современный логик понимает, что все наше знание только в большей или меньшей степени вероятностно, а не достоверно, как привыкли думать философы и теологи. Он не слишком беспокоится из-за того, что индуктивный вывод придает лишь вероятность его заключению, поскольку он не ожидает ничего большего. Однако он задумается, если обнаружит причину сомневаться даже в вероятности своего заключения.

Таким образом, две проблемы получили в современной логике гораздо большую важность, чем в прежние времена. Во-первых, это природа вероятности, а во-вторых – значимость индукции. Обсудим вкратце эти проблемы.

Существует, соответственно, два вида вероятности – определенная и неопределенная. Вероятность определенного вида имеет место в математической теории вероятности, где обсуждаются задачи типа метания костей или подбрасывания монет. Она имеет место везде, где существует несколько возможностей, и ни одну из них нельзя предпочесть другой. Если вы подбрасываете монету, она должна упасть или орлом, или решкой, но и то и другое представляется равновероятным. Следовательно, шансы у орла и решки равны 50%, единица принимается за достоверность. Сходным образом, если вы бросаете кость, она может упасть вверх любой из шести граней, и нет оснований для предпочтения одной из них, следовательно, шанс каждой равен 1/6. Такого рода вероятность используют в своей работе страховые компании. Они не знают, какое именно здание сгорит, но знают, какой процент зданий сгорает ежегодно. Они не знают, как долго будет жить конкретный человек, но знают среднюю продолжительность жизни в данный период. Во всех подобных случаях оценка вероятности сама по себе не является просто вероятной, за исключением того смысла, в котором все знание лишь вероятно. Оценка вероятности сама по себе может обладать высокой степенью вероятности. Иначе страховые компании разорились бы.