§ 6. По следам Диофанта

Самые разные задачи практического содержания часто приводят к уравнениям, в которых неизвестные по своему смыслу могут принимать только целочисленные значения. Уравнения в целых числах рассматривались еще в глубокой древности. Особенно много ими занимался александрийский математик Диофант, имя которого и носят уравнения в целых числах.

Простейшим примером диофантова уравнения служит линейное уравнение

ax + by = c в целых числах (естественно, с целыми коэффициентами а, b и с). Оно может быть решено разными способами. Но, пожалуй, наиболее универсальный способ тесно связан, как это ни странно, с алгоритмом Евклида и цепными дробями (см. § 5).

6.1. Без сдачи Докажите, что любую денежную сумму, выраженную целым числом рублей, большим 7, можно уплатить без сдачи, имея лишь трехрублевые и пятирублевые купюры в достаточном количестве.

6.2. Оплата покупки Докажите, что за любую покупку стоимостью в целое число рублей можно заплатить одними трехрублевыми купюрами, если у кассира имеются только пятирублевые купюры. Какое наименьшее количество пятирублевых купюр достаточно при этом иметь кассиру?

6.3. Необходимое условие разрешимости Пусть а, b, с - ненулевые целые числа. Докажите, что если число с не делится на наибольший общий делитель пары чисел а и b, то уравнение ах + bу = с в целых числах не имеет решений.

6.4. Сорока купюрами Можно ли набрать сумму в 1000 рублей с помощью купюр достоинством в 1 рубль, 10 рублей, 100 рублей таким образом, чтобы всего было использовано ровно 40 купюр?

6.5. Затруднение кладовщика На складе имеются гвозди, упакованные в ящики по 16 кг, 17 кг и 40 кг. Может ли кладовщик отпустить 140 кг гвоздей, не вскрывая ни одного ящика?

6.6. Линейные диофантовы уравнения Покажите, как свести решение уравнения

ax + by = c

в целых числах с ненулевыми целыми коэффициентами а, b, с к решению уравнения

a'x + b'y = c'

в целых числах, коэффициенты а', b', с' которого являются натуральными числами, причем числа а' и b' взаимно просты.

6.7. Состав с углем На станцию привезли 420 т угля в вагонах вместимостью по 15 т, по 20 т и по 25 т. Сколько каких вагонов было использовано, если известно, что всего было 27 вагонов?

6.8. Общее решение Пусть пара чисел x = x₀, y = y₀ удовлетворяет уравнению

ax + by = c

в целых числах с взаимно простыми коэффициентами а и b. Докажите, что формулы

x = x₀ + bk, y = y₀ + ak

с целым параметром k задают все решения этого уравнения,

6.9. Сколько нужно мешков? Для перевозки зерна имеются мешки, в которые входит либо 60 кг, либо 80 кг зерна. Сколько надо заготовить тех и других мешков для загрузки 1 т зерна таким образом, чтобы все мешки были полными? Какое наименьшее количество мешков при этом может понадобиться?

6.10. Сколько нужно банок? Требуется разлить 20,5 литра сока в банки по 0,7 л и 0,9 л так, чтобы все банки оказались полными. Сколько каких банок надо заготовить? Какое наименьшее количество банок при этом может понадобиться?

6.11. Частное решение Докажите, что уравнение

ax + by = c

с взаимно простыми коэффициентами а и b имеет решение

где - предпоследняя подходящая дробь к цепной дроби, в которую раскладывается дробь ^a/_b (см. задачи 5.7, 5.10, 5.12).

6.12. Загрузка трехтонок Для перевозки большого количества контейнеров по 170 кг и по 190 кг выделены трехтонные машины. Можно ли ими загружать машины полностью?

6.13. Целые точки на прямой Сколько точек с целочисленными координатами, удовлетворяющими неравенствам х<0 и y>0, лежит на прямой

8x - 13y + 11 = 0?

6.14. Наименьшим числом У продавца имеются 100-граммовые гирьки и консервные банки весом по 450 г. Как с их помощью отвесить на чашечных весах 2,5 кг сахарного песка за один раз, используя для взвешивания наименьшее количество гирек и банок в общей сложности?