Наконец, логическая независимость положения дел означает, что логически возможно в любом данном случае получить или не получить любые их комбинации. Если число положений дел в совокупности конечно и равно n, то число таких возможных комбинаций будет 2**n. Любую такую комбинацию можно назвать полным состоянием или возможным миром. Для обозначения конъюнкции предложений и их отрицаний (порядок членов конъюнкции не важен), которые описывают положения дел, т. е. "атомы" или "элементы" возможного мира, был введен термин "описание состояния".

Рассматриваемое множество положений дел я буду также называть "пространством состояний". В нашем формальном анализе везде будет предполагаться, что пространства состояний являются конечными.

Допустим, что полное состояние мира в данном случае можно описать путем установления любого данного элемента некоторого пространства состояний, независимо от того, получается он или нет в этом случае. Удовлетворяющий этому условию мир можно назвать "миром Трактата". Именно такого рода мир исследовал Витгенштейн в своем "Логико-философском трактате". Он представляет собой частный случай более общей концепции структуры мира, которую можно назвать логическим атомизмом.

Является ли мир, в котором мы живем, "миром Трактата" или миром с логико-атомистической структурой? Это глубокий и сложный метафизический вопрос, и я не знаю, как на него ответить. (Тот факт, что "мир Трактата" "узок", что огромное множество известных и важных вещей остается за его пределами, не является убедительным возражением против идеи существования этого мира.) Однако независимо от нашего ответа нельзя отрицать, что в качестве упрощенной модели мира концепция Витгенштейна, развитая в "Трактате", и интересна сама по себе, и полезна для многих целей в философии логики и науки. Я буду использовать в своем анализе эту модель, что, в частности, означает, что положения дел рассматриваются мной как единственные "онтологические кирпичики", из которых составлен изучаемый нами мир. Мы не будем анализировать внутреннюю структуру этих "кирпичиков". Вещи, свойства и отношения — это онтологические сущности, анализ которых выходит за рамки нашего формально-логического исследования.

В основе формализма нашей логики лежит "классическая" двузначная пропозициональная логика (ПЛ). Я предполагаю, что этот раздел логики известен читателю. Его описание можно найти в любом учебнике по элементарной логике.

На основе ПЛ мы строим следующую (элементарную) временную логику[111].

К алфавиту ПЛ добавляется новый символ Т, представляющий бинарную связку. Выражение "p Т q" читается так: "Сейчас происходит событие p, а затем, т. е. в следующий момент, происходит событие q".

Выражения слева и справа от Т могут быть соединением переменных и функционально-истинностных связок. Особый интерес представляет случай, когда они являются описаниями состояния. Полное выражение будет тогда говорить, что в данный момент мир находится в определенном состоянии, а в следующий момент находится в том же самом состоянии или в каком-то другом.

Выражения слева и справа от Т могут сами содержать символ Т. Можно построить цепочку формул — Т (- Т (- Т …))…, описывающих состояния, которые последовательно, т. е. в различные моменты некоторого отрезка времени, проходит мир. Особый интерес представляет случай, когда выражения, обозначенные как "-", являются описаниями состояния. Цепочку такого типа будем называть (фрагментом) истории мира. Термин "история" имеет двойственное значение: он может означать последовательность как самих полных состояний мира, так и их описаний.

Мы получим "логику" с оператором Т, если к аксиомам пропозициональной логики добавим следующие четыре аксиомы:

T1. (p\/q T r\/s)‹-› (р T r) \/ (p T s) \/ (q T r) \/ (q T s)

T2. (p T q) amp; (p T r) — › (p T q amp; r)

T3. p ‹-›^(p T q \/ ~q)

T4. ~ (p T q amp; ~q),

а к правилам вывода пропозициональной логики добавим правило: если эквивалентность некоторых выражений доказана, то они взаимозаменимы (правило экстенсиональности).

Если число возможных полных состояний мира (в данном случае) равно 2**n, то число возможных историй мира в m последовательных моментах равно 2**(m*n). Удобно говорить, что n измеряет "ширину" мира, а m измеряет "длину" его истории. Дизъюнкцию 2**(m*n) различных возможных историй мы будем называть Т-тавтологией или "тавтологичной историей". Она говорит о всех возможных путях изменения мира, когда "время проходит" от первого момента до момента т., никак не ограничивая действительный ход событий. Таким образом, эта тавтология вообще ничего не говорит о его реальной истории.

Понятие T-тавтологии дает нам критерий логической истинности для исчисления со связкой Т. Можно показать, что в данном исчислении доказуемы те, и только те, формулы, для которых доказуема их эквивалентность T-тавтологиям. Это означает, что логика связки Т является семантически полной. Она также разрешима; относительно любой данной формулы можно показать, является ли она (доказывается ли ее эквивалентность) T-тавтологией.

Как должно быть ясно из приведенных объяснений и структуры нашего формализма (особенно аксиомы Т2), в нашей временной логике время рассматривается как дискретное, как линейное течение исчислимых последовательных случаев (мгновений, моментов времени). Как и в случае допущения о логико-атомистической структуре мира, здесь также можно задать вопрос: "действительно" ли время имеет дискретную структуру? Не следует ли рассматривать время как "плотное", по крайней мере, т. е. такое, что между двумя любыми моментами времени всегда есть третий? И не следует ли считать его непрерывным? Нет необходимости останавливаться здесь на этих вопросах. Логика связки Т в качестве упрощенной модели временной последовательности состояний мира вполне удовлетворяет целям нашего анализа.

Следует обратить внимание, что под "упрощенностью" модели я понимаю логическую простоту ее концептуальной структуры. Когда в научном анализе каузальные связи формулируются как функциональные зависимости между переменными или когда в математических исчислениях анализируются функции, может оказаться значительно проще трактовать время как континуум, чем рассматривать его как развертывание дискретных моментов. Понимание законов природы как системы дифференциальных уравнений тесно связано с идеей непрерывности времени и пространства. Однако с логической точки зрения эта концепция чрезвычайно запутана и сложна и нелегко определить ее отношение к "действительности". Идея континуума, по-видимому, — это "идеализация", сглаживающая неровную поверхность действительности.

Можно добавить в исчисление коннективного T-оператора временной квантор, например понятие "всегда" ("всякий раз, когда"). Если "всегда" обозначить символом /\, то "никогда" можно определить как /\ ~, а "иногда" — как ~ /\ ~. Если добавить символ /\ в алфавит Т-исчисления, то в нашем логическом языке можно сформулировать такие высказывания, как "Всякий раз, когда есть p, в следующий момент будет q". Символически: /\ (p — › ~ (p T q)). Мы не будем обсуждать проблемы аксиоматики и металогики (вопросы полноты, разрешимости и т. п.) в отношении этой кванторной логики дискретного времени[112].

Следующий, и последний, концептуальный элемент, добавляемый в наш формализм, — это оператор М. Оператор М выражает понятие возможности. Невозможность будет определяться как ~М, а необходимость — как ~М~. Аксиоматика нужной нам модальной логики должна обладать по крайней мере такой же силой, как система, образованная пропозициональной логикой, правилом экстенсиональности и следующими аксиомами:

M1. М (p \/ q) ‹-› М p \/ M q.

M2. p — › М p.

М3. ~ М (p amp; ~ р).

Мы не будем доказывать теоремы на основе этих аксиом и даже пытаться выразить результаты наших рассуждений в символическом языке ПЛ+Т+Л+М исчисления. Проблема надлежащей формализации логики обусловленности и каузального анализа (как я предлагаю его называть) в значительной мере остается еще открытой, но я надеюсь, что со временем она будет решена. В данной работе в лучшем случае предлагаются лишь отдельные компоненты, необходимые для ее решения.