Подставив исходные данные в формулу, в первом случае получим

1/m = 0,2/12 000 = 1/60 000,

а во втором

1/m = 3/150 000 = 1/50 000.

Как видите, масштаб аэроснимка во втором случае получился крупнее, несмотря на то, что высота фотографирования была значительно большей.

На первый взгляд кажется, что по аэрофотоснимкам можно легко создать карту. Однако это процесс сложный, состоящий из множества операций. Прежде всего аэрофотоснимки нужно привязать к опорным пунктам, координаты которых определены геодезическими измерениями с высокой точностью. Сеть опорных пунктов — это геометрическое обоснование карты, своего рода ее каркас. Любая точка, изображенная на аэрофотоснимке, занимает строго определенное положение относительно опорных пунктов. Во-вторых, аэрофотоснимки по своим измерительным свойствам отличаются от карты, так как на них местность изображается в центральной проекции, а не в ортогональной, как на топографической карте.

В центральной проекции изображение на плоскости получается путем проектирования земной поверхности из одной точки — центра проекции. В этом случае полное подобие изображения с местностью может быть только при условии, что плоскость, на которой получается изображение, строго параллельна фотографируемой поверхности. В действительности это случается весьма редко.

Из-за колебаний самолета в полете оптическая ось аэрофотоаппарата отклоняется от вертикального положения, и поэтому фотографирование производится под некоторым углом. Кроме того, фотографируемая местность не является ровной горизонтальной плоскостью, а имеет рельеф. Вследствие указанных причин изображения контуров местности на аэроснимке получаются искаженными, т. е. смещенными от того положения, которое они должны занимать на карте. Поэтому, прежде чем превратиться в карту, аэроснимки проходят обработку на различных приборах.

Люди определили размеры нашей планеты, измерили площади стран, высоты поверхностей горных вершин, глубины морей и океанов, построили города, каналы и дороги, проложили путь в межпланетное пространство кораблей. Каждое из этих достижений человеческого разума не обошлось без широкого применения одной из древнейших наук о Земле — геодезии, что в переводе с греческого означает «землеизмерение».

Карта Земли также не могла быть составлена без длительной и кропотливой работы геодезистов, определявших шаг за шагом на протяжении многих лет координаты опорных пунктов на земной поверхности. Эти пункты, нанесенные по координатам на сетку параллелей и меридианов, представляют съемочное обоснование, позволяющее определять по карте точное положение любого земного объекта.

Географические координаты геодезисты определяют по звездам с помощью высокоточных астрономических приборов, а вычисления производят по довольно сложным формулам. Раньше решать эту задачу было намного труднее: широту определяли приблизительно по высоте Полярной звезды, а вот с долготой дело обстояло совсем плохо. Чтобы узнать долготу места, скажем, Пулково, где помещается главная обсерватория нашей страны, по отношению к Гринвичу, через который проходит нулевой меридиан, нужно точно знать, на сколько часов, минут и секунд разнится местное время этих пунктов. Сейчас это сделать легко: есть очень точные часы, есть радио. А всего сто с небольшим лет назад для того, чтобы сравнить пулковское время с гринвичским, пришлось снаряжать морскую экспедицию из нескольких кораблей, на которых везли 81 хронометр!

Астрономические наблюдения, с помощью которых определяют местоположение пунктов на земной поверхности, очень громоздки и требуют больших затрат времени. В 1614 г, голландский астроном В. Снеллиус предложил очень простой и точный способ определения опорных точек, который получил название триангуляции. Достаточно иметь всего два астрономических пункта А и В (рис. 52), и от них по измеренным углам α и β треугольника можно получить третий пункт С; от третьего и одного исходного пункта — четвертый D и т. д.

Рис. 52. Схема триангуляции.

Так, переходя от одного видимого издалека пункта к другому, можно покрыть треугольниками громадную полосу на поверхности Земли — вдоль любого меридиана или параллели — и вычислить длину этих отрезков градусной сетки.

Достоинство триангуляции состоит в том, что она сокращает до минимума трудоемкие линейные измерения, которые сводятся к определению лишь одной стороны — базиса, правда, измеряют его с величайшей точностью и тщательностью. Углы воображаемых треугольников измеряют угломерным прибором — теодолитом. В зрительную трубу теодолита вначале наблюдают одну вершину треугольника, потом другую и затем по горизонтальному кругу прибора отсчитывают величину угла.

Геодезические пункты с большого расстояния плохо видны. Поэтому углы большей частью измеряли ночью, зажигая на их верхушках лампы. Потом придумали, как измерять углы и днем. Один из геодезистов забирался на вышку и пускал в вершину соседнего угла солнечный «зайчик» только не карманным зеркальцем, а сложной системой зеркал. Другой наблюдатель «ловил» в трубу этот солнечный «зайчик».

Топографам при съемке карт более удобно пользоваться не географическими, а прямоугольными координатами, которые отсчитываются от двух взаимно перпендикулярных осей. В математике горизонтальная линия служит осью абсцисс X, а вертикальная — осью ординат У (рис. 53, а).

Рис. 53. Система плоских прямоугольных координат: а — в топографии; б — в математике.

В топографии оси повернуты на 90°, и являются как бы зеркальным отображением математических осей. На рис. 53, б за ось X принята вертикальная линия, совпадающая с направлением север — юг. Почему же топографы и геодезисты вошли в противоречие с математикой?

Различие в обозначении координат имеет строгое обоснование. Дело в том, что с древних времен люди пользовались компасом и по нему отсчитывали углы от северного конца магнитной стрелки. Карты, как известно, также ориентируются на север. Это в свою очередь повлекло за собой необходимость поворота осей координат, с тем чтобы сохранились знаки тригонометрических функций и при вычислениях можно было бы пользоваться обычными математическими таблицами.

Какие же линии в топографии приняты за оси X и У? Осью У служит линия экватора. От него вверх и вниз отсчитываются абсциссы. Что касается ординат, то здесь дело обстоит несколько сложнее. Для топографических карт нельзя пользоваться одной осью, так как они составляются по частям — зонам, ограниченным шестиградусными меридианами. Поэтому в каждой зоне счет ординат ведется от своего осевого (среднего) меридиана, причем значение ординаты осевого меридиана условно принимается равным 500 км (при ширине всей зоны на экваторе 667 км). Это сделано для того, чтобы ординаты во всей зоне были положительными.

Между географическими и прямоугольными координатами существует довольно сложная математическая зависимость. Упрощенно перевод географических координат в прямоугольные можно выполнить так. Допустим, пункт расположен на 50° с. ш. и 22° в. д. Каковы будут его прямоугольные координаты?

Координата х, т. е. расстояние по дуге большого круга от экватора до пункта, будет примерно равна произведению значения широты в градусах на длину дуги одного градуса. Считая дугу меридиана в 1° равной 111,1 км, получим координату х. Она равна 5555 км.

Для определения координаты у нужно прежде всего знать, в какой зоне расположен пункт. В первой зоне находятся пункты с восточной долготой от 0 до 6°, во второй — от 6 до 12°, в третьей — от 12 до 18°, в четвертой — от 18 до 24° и т. д. Значит, наш пункт, имеющий восточную долготу 22°, находится в четвертой зоне. Осевой (средний) меридиан в этой зоне 21° в. д. Географическая долгота нашего пункта 22°. Значит, он отстоит от осевого меридиана к востоку на 1°. Дуга в 1° долготы на широте 50° (табл. 3) составляет 71,7 км. К полученному числу нужно прибавить 500 км. Это делают для того, чтобы влево от осевого меридиана не получались отрицательные значения координаты у. Значит, координата у равна 571,7 км. А чтобы знать, в какой зоне располагается пункт, впереди подпишем число, обозначающее номер зоны (в нашем примере 4). Таким образом, прямоугольные координаты пункта в метрах будут равны: x = 5 555 000; у = 4 571 700.