Все основные элементарные функции: постоянные, степенная функция х^a, показательная функция a^x, тригонометрические функции sinx, cosx, tgx и ctgx и обратные тригонометрические функции arcsinx, arccosx, arctgx и arcctgx во всех внутренних точках своих областей определения имеют П., совпадающие с их значениями в этих точках. Но это не всегда бывает так. Функция

,

являющаяся суммой бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q = 1/(1 + x²), 0 < q < 1, в точке х = 0 имеет П., равный 1, ибо f (x) = 1 + x² при x ¹ 0. Этот П. не совпадает со значением функции f в нуле: f (0) = 0. Функция же

, x ¹ 0,

вовсе не имеет П. при х ® 0, ибо уже для значений x_n = 1/(p/2 + pn) последовательность соответствующих значений функции f (x_n) = (-1) ⁿ не имеет П.

  Если П. функции при х ® х равен нулю, то она называется бесконечно малой при х ® х. Например, функция sinx бесконечно мала при х ® 0. Для того чтобы функция f имела при х ® х П., равный А, необходимо и достаточно, чтобы f (x) = A + a(x), где a(х) является бесконечно малой при х ® х

  Если при определении П. функции f в точке x рассматриваются только точки х, лежащие левее (правее) точки x, то получающийся П. называется пределом слева (справа) и обозначается

 (соответственно ).

  Функция имеет П. в некоторой точке, если её П. слева в этой точке равен её П. справа. Понятие П. функции обобщается и на случай, когда аргумент стремится к бесконечности:

, ,

  Например,

означает, что для любого e > 0 существует такое d > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию x > d, выполняется неравенство ½f (x) - А½ < e.

  Примером функций, всегда имеющих П., являются монотонные функции. Так, если функция f определена на интервале (а, b) и не убывает, то в каждой точке х, а < х < b, она имеет конечный П. как слева, так и справа; в точке в П. справа, который конечен тогда и только тогда, когда функция f ограничена снизу, а в точке b П. слева, конечный в том и только в том случае, когда функция ограничена сверху. В общем же случае стремление к П. может носить разный, необязательно монотонный характер. Например, функция f (x) = x

 при х ® 0 стремится к нулю, бесконечное число раз переходя от возрастания к убыванию и обратно.

  Т. н. внутренний критерий (критерий Коши) существования П. функции в точке состоит в следующем: функция f имеет в точке x П. в том и только в том случае, если для любого e > 0 существует такое d > 0, что для всех точек х' и х'', удовлетворяющих условию ½х’ - x ½ < d, ½x'' — x½ < d, x'  ¹ x, x'’ ¹ x, выполняется неравенство ½f (x'' ) — f (x')½ < e.

  Для функций, как и для последовательностей, определяются понятия бесконечных П. вида

, ,  и т.д.; в этих случаях функция f  называется бесконечно большой при х ® х, При х ® х + 0 или При х ® +¥ соответственно и т.д. Например,

означает, что для любого e > 0 существует такое d > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию х < -d, выполняется неравенство f (x) > e.

  Расширение понятия предела функции. Если функция f определена на некотором множестве Е числовой прямой и точка x такова, что в любой её окрестности имеются точки множества Е, то аналогично данному выше определению П. функции, заданной в некоторой окрестности точки x, кроме, быть может, самой точки x, определяется понятие предела функции по множеству Е

,

для этого следует лишь в определении П. всегда дополнительно требовать, чтобы точка х принадлежала множеству Е: х Î Е.  П. последовательности x_n, n = 1, 2,..., является при таком определении понятия П. частным случаем П. функции по множеству, а именно функции f, определённой на множестве натуральных чисел n формулой f (n) = x_n, n = 1, 2,....

  Функция, равная нулю при рациональных х и единице при иррациональных, не имеет П. при х ® 0, однако по множеству рациональных чисел она при х ® 0 имеет П., равный нулю. Понятие П. числовой функции по множеству переносится и на функции многих переменных. В этом случае можно говорить, в частности, о П. в данном направлении, о П. по данной кривой, по данной поверхности и т.д. Кроме того, для функций многих переменных возникает понятие повторного предела, когда предельный переход совершается последовательно по разным переменным, например

. Распространяется понятие П. и на функции, которые могут принимать не только действительные, но и комплексные значения.

  Предел интегральных сумм. Ещё одно важное понятие П. возникает при определении интеграла. Пусть, например, функция f определена на отрезке [a, b]. Совокупность {x_i} таких точек x_i, что

  a = x < x₁ <... < x_i <... < x_n-1 < x_n  = b,

  наз. разбиением отрезка [a, b]. Пусть x_i-1 £ x_I  < x_i, Dx_i  =  x_i - x_i-1, i = 1, 2,..., n. Тогда сумма f (x₁)Dx₁ + f (x₂)Dx₂ +... + f (x_n)Dx_n называется интегральной суммой функции f. Число А является пределом интегральных сумм и называется определённым интегралом: