Лит.: Энгельс Ф., Анти-Дюринг, Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20; Аристотель, Аналитики первая и вторая, пер. с греч., М., 1952; Тарский А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Горский Д. П., О видах определений и их значении в науке, в сборнике: Проблемы логики научного познания, М., 1964; Карри X. Б., Основания математической логики, пер. с англ., М., 1969, гл. 1—3.

  Ю. А. Гастев.

Определение судебное

Определе'ние суде'бное, по советскому праву: 1) решение суда первой инстанции по отдельным процессуальным вопросам, возникающим в ходе уголовного или гражданского дела, а также о прекращении дела; 2) всякое решение, принятое судом кассационной или надзорной (кроме президиумов и пленумов судов) инстанций (об оставлении без изменения, отмене или изменении приговора или постановления суда первой инстанции); 3) решение о назначении принудительных мер медицинского характера; 4) решение суда, которым обращается внимание соответствующих организаций или должностных лиц на обстоятельства, способствовавшие правонарушениям (т. н. частное, или особое, О. с.). О. с. выносятся в совещательной комнате либо после совещания судей на месте, оформляются в виде отдельного документа или заносятся в протокол судебного заседания. Закон устанавливает перечень О. с., которые могут быть обжалованы или опротестованы (например, ст. 331 УПК РСФСР).

Определение через абстракцию

Определе'ние че'рез абстра'кцию, способ описания (выделения, «абстрагирования») не воспринимаемых чувственно («абстрактных») свойств предметов путём задания на предметной области некоторого отношения типа равенства (тождества, эквивалентности). Такое отношение, обладающее свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, индуцирует разбиение предметной области на непересекающиеся классы (классы абстракции, или классы эквивалентности), причём элементы, принадлежащие одному и тому же классу, неотличимы по определяемому т. о. свойству. Так, например, в политической экономии определяется стоимость (через отношение обмениваемости товаров), в теории множеств — мощность множеств (через отношение теоретико-множественной эквивалентности). О. ч. а. всегда (хотя обычно и неявно) опирается на т. н. принцип абстракции, или принцип свёртывания, согласно которому каждому свойству соотносится класс (множество) объектов, обладающих этим свойством. В практических приложениях этот принцип весьма удобен, естествен и плодотворен; но постулирование его как универсального методологического закона приводит к трудностям, проявляющимся прежде всего в виде парадоксов (логики и теории множеств). См. Аксиоматический метод, Метаматематика, Непротиворечивость.

Определённый интеграл

Определённый интегра'л, одно из основных понятий математического анализа, к которому приводится решение ряда задач геометрии, механики, физики. О. и. является числом, равным пределу сумм особого вида (интегральных сумм), соответствующих функции f (x) и отрезку [ а, b ]; обозначается

. Геометрически О. и. выражает площадь «криволинейной трапеции», ограниченной отрезком [ а, b ] оси Ох, графиком функции f (x) и ординатами точек графика, имеющих абсциссы а и b. Точное определение и обобщение О. и. см. в статьях Интеграл, Интегральное исчисление.

Определитель

Определи'тель, детерминант, особого рода математическое выражение, встречающееся в различных областях математики. Пусть дана матрица порядка n, т. е. квадратная таблица, составленная из п² элементов (чисел, функций и т. п.):

 (1)

  (каждый элемент матрицы снабжён двумя индексами: первый указывает номер строки, второй — номер столбца, на пересечении которых находится этот элемент). Определителем матрицы (1) называется многочлен, каждый член которого является произведением n элементов матрицы (1), причём из каждой строки и каждого столбца матрицы в произведение входит лишь один сомножитель, т. е. многочлен вида

å ± a_1aa_2b...a_ng. (2)

  В этой формуле a, b, ..., g есть произвольная перестановка чисел 1, 2, ..., n. Перед членом берётся знак +, если перестановка a, b, ..., g чётная, и знак – , если эта перестановка нечётная. [Перестановку называют чётной, если в ней содержится чётное число нарушений порядка (или инверсий), т. е. случаев, когда большее число стоит впереди меньшего, и нечётной – в противоположном случае; так, например, перестановка 51243 – нечётная, т. к. в ней имеется 5 инверсий 51, 52, 54, 53, 43.] Суммирование производится по всем перестановкам a, b, ..., g чисел 1, 2, ..., n. Число различных перестановок n символов равно n! = 1·2·3·...·n; поэтому О. содержит n! членов, из которых ¹/₂n! берётся со знаком + и ¹/₂n! со знаком –. Число n называется порядком О.

  О., составленный из элементов матрицы (1), записывают в виде:

 (3)

(или, сокращённо, в виде |a_ik|). Для О. 2-го и 3-го порядков имеем формулы:

= a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁,

 

 = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ – a₁₁a₂₃a₃₂ – a₁₂a₂₁a₃₃ – a₁₃a₂₂a₃₁.

О. 2-го и 3-го порядков допускают простое геометрическое истолкование:

 равен площади параллелограмма, построенного на векторах a₁ = (x₁, y₁) и a₂ = (х₂.у₂), а  равен объёму параллелепипеда, построенного на векторах a₁ = (x₁, y₁, z₁), a₂ = (x₂, у₂, z₂) и а₃ = (х₃, y₃, z₃) (системы координат предполагаются прямоугольными).

  Теория О. возникла в связи с задачей решения систем алгебраических уравнений 1-й степени (линейные уравнения). В наиболее важном случае, когда число уравнений равно числу неизвестных, такая система может быть записана в виде: