i = 1,..., n,

где x¹,..., xⁿ — фазовые координаты, характеризующие состояние объекта в момент времени t, а u ¹,..., u ^r — управляющие параметры. Управление объектом означает выбор управляющих параметров как функций времени

, j = 1,..., r,   (2)

  являющихся допустимыми с точки зрения имеющихся возможностей управления объектом. Например, в прикладных задачах часто требуется, чтобы в каждый момент времени точка (u ¹,..., u ^r) принадлежала заданному замкнутому множеству U. Это последнее обстоятельство делает рассматриваемую вариационную задачу неклассической. Пусть заданы начальное ( x ¹,..., x ⁿ) и конечное (x ¹₁,..., x ⁿ₁) состояния объекта (1). Об управлении (2) говорят, что оно реализует цель управления, если найдётся такой момент времени t₁ > t, что решение (x ¹(t),..., x ⁿ (t)) задачи

(3)

x ⁱ (t) = x ⁱ,

i = 1,..., n,

удовлетворяет условию x ⁱ (t₁) = x ⁱ₁. Качество этого управления будем оценивать значением функционала

, (4)

где

 — заданная функция. Задача О. у. состоит в отыскании такого реализующего цель управления, для которого функционал (4) принимает наименьшее возможное значение. Т. о., математическая теория О. у. — это раздел математики, рассматривающий неклассические вариационные задачи отыскания экстремумов функционалов на решениях уравнений, описывающих управляемые объекты, и управлений, на которых реализуется экстремум.

  Сформулируем для поставленной задачи необходимое условие оптимальности управления.

  Принцип максимума Понтрягина. Пусть вектор-функция

u = u (t) = (u ¹(t),..., u ^r (t)), t £ t £ t₁, (5)

– оптимальное управление, а вектор-функция

x = x (t) = (x ¹(t),..., x ⁿ (t)), t £ t £ t₁,

– соответствующее ему решение задачи (3). Рассмотрим вспомогательную линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений

, (6)

k = 0, 1,..., n,

 и составим функцию

Н (y, х, u) =

,

зависящую, помимо х и u, от вектора y = (y, y₁,..., y_n). Тогда у линейной системы (6) существует такое нетривиальное решение

y = y(t) = (y(t), y₁(t),..., y_n (t)),

t £ t £ t₁,

что для всех точек t из отрезка [t, t₁], в которых функция (5) непрерывна, выполнено соотношение

мах Н (y(t), х (t), u) = Н (y(t), x (t), u (t)) = 0,

                                   u Î U

причём y(t) º const £ 0.

  К виду (1) обычно приводятся уравнения движения в случае управляемых механических объектов с конечным числом степеней свободы. В многочисленных реальных ситуациях возникают и иные постановки задач О. у., отличающиеся от приведённой выше: задачи с фиксированным временем, когда продолжительность процесса заранее задана, задачи со скользящими концами, когда про начальное и конечное состояния известно, что они принадлежат некоторым множествам, задачи с фазовыми ограничениями, когда решение задачи (3) в каждый момент времени должно принадлежать фиксированному замкнутому множеству, и др. В задачах механики сплошных сред характеризующая состояние управляемого объекта величина х является функцией уже не только времени, но и пространственных координат (например, величина х может описывать распределение температуры в теле в данный момент времени), а закон движения будет дифференциальным уравнением с частными производными. Часто приходится рассматривать управляемые объекты, когда независимая переменная принимает дискретные значения, а закон движения представляет собой систему конечно-разностных уравнений. Наконец, отдельную теорию составляет О. у. стохастическими объектами.

  Лит.: Математическая теория оптимальных процессов, 2 изд.. М., 1969 (авт. Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко); Красовский Н. Н., Теория управления движением, М., 1968; Моисеев Н. Н., Численные методы в теории оптимальных систем, М., 1971.

  Н. Х. Розов.

Оптимальные цены

Оптима'льные це'ны при социализме, цены, получаемые в процессе расчёта оптимальною плана производства и потребления продукции на одном и том же массиве экономической информации методами математического программирования (см. Планирование оптимальное). Применение О. ц. в масштабах народного хозяйства возможно только в условиях социалистической системы хозяйства. Действие основного экономического закона социализма позволяет представить народнохозяйственное планирование в экстремальной динамической задаче математического программирования.

  О. ц. обладают следующими свойствами: обеспечивают хозрасчётное стимулирование выполнения плановых заданий в натуральном выражении (все производственные способы, вошедшие в оптимальный план и измеренные в О. ц., рентабельны; все отвергнутые хозяйственные решения убыточны); оценивают затраты отдельных хозяйственных звеньев с позиций их народно-хозяйственной эффективности (О. ц. включают не только прямые затраты на производство конкретного продукта, но и всю совокупность дополнительных затрат, которые общество вынуждено нести в др. сферах в связи с производством данного продукта); характеризуют уменьшение или увеличение общественных затрат и результатов только в пределах небольших изменений производства и потребления продукции. Последнее свойство О. ц. позволяет использовать их для оценки микроэкономических процессов.

  Н. Я. Петраков.