Бесконечность – один из тех математических образов, который трудно себе представить не только неспециалистам, но и ученым. Один известный математик, преподававший геометрию на физическом факультете Московского университета, доверительно признавался студентам, что когда он пытается представить себе бесконечность, то чувствует, как начинает мутиться рассудок.

Тем не менее и математикам, и физикам, и астрофизикам в своих исследованиях приходится иметь дело с бесконечностями, с бесконечно большими величинами и оперировать ими. Причем бесконечности, оказывается, бывают разными, и их даже можно сравнивать между собой.

Самая простая, самая «элементарная» бесконечность и в то же время самая «маленькая» – это бесконечность чисел натурального ряда. Ее можно получить, прибавляя раз за разом к единице одну единицу за другой.

Поскольку подобная операция ничем не ограничена и ее можно повторять сколь угодно долго, то в результате мы и получим бесконечное множество целых чисел – «счетное» множество, как его называют математики. Эта удобная во многих отношениях бесконечность играет роль своеобразной «мерной линейки», некоего эталона для измерения других бесконечностей. Для этого их элементы необходимо попытаться просто пронумеровать. И посмотреть, что из этого получится…

Просто? А почему бы и нет? Считать-то от одного и так далее мы ведь умеем. Но тут нас подстерегает совершенно непредвиденная неожиданность. Одна из тех, с которыми мы встречаемся чуть ли не на каждом шагу, когда имеем дело с бесконечностями. Например, «приложим» к бесконечному множеству всех четных чисел наш эталон. Двойку – самое малое четное число, пронумеруем единицей, четверку – двойкой, шестерку – тройкой, и так далее, и так далее… И с удивлением обнаружим, что номеров не только вполне хватает для обозначения всех четных чисел – этого-то нужно было ожидать, – но остаются и свободные номера.

Выходит, что обе бесконечности – счетная и бесконечность всех четных чисел – одинаковы? Как же так? Ведь из каждых двух следующих друг за другом чисел натурального ряда четным является только одно. Значит, таких чисел должно быть вдвое меньше, чем всех целых! Иными словами, множество всех четных чисел составляет лишь часть множества всех целых. А соответствующие им бесконечности – одинаковы, имеют, как говорят математики, одинаковую мощность.

Но ведь так не бывает, не может быть! Множество любых предметов не может быть равно своей собственной части! Да, действительно, не может, пока мы имеем дело с конечными образованиями. Но у бесконечностей свои законы – причудливые, разумеется, с обыденной точки зрения, – но тем не менее вполне строгие. Между прочим, на то, что бесконечные множества могут быть равны собственным подмножествам, обратил внимание еще Галилей… К немалому своему удивлению!

Однако всякое открытие, как мы уже знаем, неизбежно влечет за собой новые вопросы. Не составляет исключения и то, о котором идет речь. Возникает, например, такой вопрос: существуют ли бесконечные множества более «мощные», чем счетное? Вот отрезок прямой линии. Сколько на нем помещается точек? Ясно, что их бесчисленное множество. Но сколько именно?

Прибегнем еще раз к помощи нашего эталона – счетного множества. И в конце концов обнаружим, что на этот раз чисел в натуральном ряду слишком мало для того, чтобы пронумеровать все точки выбранного нами отрезка. В математике на этот счет доказывается строгая теорема: сколько бы точек отрезка мы ни пронумеровали, всегда будут оставаться точки, для которых не хватит чисел натурального ряда. Таким образом, мы обнаружили бесконечность более высокого порядка, чем счетное множество – бесконечность, получившую название континуума. Но и континуум не предел. В принципе можно строить бесконечности сколь угодно высокого ранга.

Однако не будем углубляться дальше в необычный, хитроумный и парадоксальный мир математических бесконечностей. Главное – мы знаем: бесконечности бывают разные…

Вернемся к вопросу о геометрических свойствах Вселенной. Возможно, вы обратили внимание на то, что при обсуждении этой проблемы упоминается то возможная бесконечность мирового пространства, то его неограниченность. В «обычном» мире, для которого справедлива геометрия Евклида, та самая геометрия, которую мы изучаем в школе, эти понятия по сути дела равнозначны, обозначают одно и то же. Хотя некоторые различия все же есть. Строго говоря, бесконечность – это свойство количественное, «метрическое»: бесконечность длины, площади, объема. А неограниченность?..

«Что мы хотим выразить, говоря, что наше пространство бесконечно? – писал Эйнштейн, обладавший счастливым умением выражать самые отвлеченные идеи с помощью наглядных образов. – Ничего другого, как то, что мы можем прикладывать одно к другому равные тела, скажем, кубики в каком угодно числе, и при этом никогда не наполним пространство. Такое построение никогда не закончится. Всегда останется место, чтобы прибавить еще один кубик…»

Вот что такое бесконечное пространство. Что же касается неограниченности, – то это свойство структурное, как говорят математики, топологическое. Это обстоятельство особо подчеркивал в свое время выдающийся математик Бернгард Риман.

«При рассмотрении пространственных построений в направлении бесконечно большого, – отмечал он, – следует различать свойства неограниченности и бесконечности: первое из них есть свойство протяженности, второе – метрическое свойство».

В евклидовом пространстве любая прямая, продолженная неограниченно, является бесконечной. Но ведь мы живем в искривленном мире… В таком мире бесконечность и неограниченность различаются еще более существенным образом. Вплоть, до того – еще один неожиданный парадокс, – что неограниченное пространство может быть как бесконечным, то есть не имеющим границы, «края», так и конечным!

Чтобы несколько смягчить этот очередной удар по здравому смыслу, воспользуемся аналогией. Аналогии в науке не являются строгими доказательствами, но они позволяют лучше разобраться в сущности тех или иных сложных явлений.

Представьте себе обычный шар конечного радиуса. Шаровая поверхность – это двумерное образование, искривленное в трехмерном пространстве. Представьте себе некое фантастическое плоское существо, обитающее на этой поверхности и даже не подозревающее, что существует еще какое-то третье измерение. Путешествуя по своему искривленному миру в любых направлениях, существо это нигде не наткнется на какую-либо границу. И в этом смысле поверхность шара есть неограниченное пространство. Но поскольку радиус нашего шара конечен, то и площадь его поверхности также имеет конечную величину. Таким образом, неограниченный и в то же время конечный мир предстал перед нами во всей своей реальности. Оказалось возможным то, что на первый взгляд представлялось абсолютно неосуществимым.

Следующий шаг потребует от нас еще большей силы воображения. Речь пойдет о трехмерном шаре, который находится в четырехмерном пространстве… К сожалению, наглядно представить себе подобную ситуацию нам – существам трехмерного мира – не менее трудно, чем воображаемому обитателю шаровой поверхности представить себе двумерную сферу, изогнутую в трехмерном пространстве.

Но в теории относительности наш мир выглядит именно таким: он искривлен в четырехмерном пространстве, где, впрочем, роль четвертого измерения играет время. По Эйнштейну, мы живем в четырехмерном «пространстве-времени». При этом великий физик считал, что наш искривленный мир обладает конечным объемом, он как бы замкнут в самом себе.

История изучения геометрических свойств Вселенной совершила еще один крутой поворот. От классических ньютоновских представлений о бесконечном и безграничном пространстве пришлось отказаться. Они сыграли свою роль, но мир оказался сложнее.

Так был осуществлен очередной, чрезвычайно важный шаг в понимании сокровенных свойств нашего мира. Впрочем, математическая, точнее, геометрическая, модель нашей Вселенной, построенная общей теорией относительности, сама по себе еще не могла считаться доказательством конечности реального пространства. Но сам Эйнштейн считал такой вариант наиболее разумным.