Гипотеза Пуанкаре – одна из тех задач, даже ошибочные решения которых приводят к появлению новых областей математики; в этом с ней может соперничать разве что великая теорема Ферма.
Сходство с теоремой Ферма есть и еще в одном важном аспекте: общедоступности формулировки[Параллели с теоремой Ферма продолжаются и дальше: история доказательства обеих гипотез весьма схожа: гениальный одиночка на несколько лет полностью посвящает себя решению проблемы и добивается успеха]. Гипотезу Пуанкаре, на мой взгляд, из всех проблем 2000 года проще всего объяснить непрофессионалу; конечно, ей далеко до простого алгебраического тождества, поля для доказательства которого оказались воистину слишком узки, но я надеюсь, что даже в рамках этой небольшой статьи мы сможем полностью понять, в чем состоит (учитывая достижения Григория Перельмана – состояла) проблема. Итак, вперед.
Анри Пуанкаре – один из самых блистательных представителей французской науки. Он родился в 1854 году в семье, занимавшей весьма почтенное положение в обществе: достаточно упомянуть, что Анри приходился двоюродным братом Раймону Пуанкаре, пять раз занимавшему пост премьер-министра Франции, а с 1913 по 1920 годы, в тяжелое время Первой мировой войны, – пост президента страны.
За свою жизнь Анри Пуанкаре успел поработать во многих областях науки: комплексном анализе, небесной механике, алгебраической геометрии, теории чисел и, конечно, топологии, в которой он и сформулировал носящую его имя гипотезу. Не все знают, что Пуанкаре стоял у истоков теории относительности: долгое время он сотрудничал с Хендриком Лоренцом (кстати, преобразования Лоренца получили имя великого голландца именно с легкой руки Пуанкаре) и еще в 1898 году, задолго до Эйнштейна, в работе «Измерение времени» сформулировал принцип относительности, а затем даже ввел четырехмерное пространство-время, теорию которого в сотрудничестве с Эйнштейном позднее разработал Герман Минковский. Примечательно, что сам Эйнштейн очень долго отрицал всякое знакомство с трудами Пуанкаре и не ссылался на него вплоть до начала двадцатых годов (!), однако впоследствии все же признал заслуги французского математика.
Философия и методы работы Пуанкаре тоже заслуживают внимания: он категорически не принимал набирающих в то время силу формалистических взглядов Рассела, Фреге и Гильберта, для которых математика была частью логики. Пуанкаре считал, что основа работы математика – интуиция, а сама наука не допускает полного аналитического обоснования. В своих привычках он следовал этой философии: Пуанкаре всегда сначала полностью решал задачи в голове, а затем записывал решения. Он обладал феноменальной памятью и мог слово в слово цитировать прочитанные книги и проведенные беседы (память, интуиция и воображение Анри Пуанкаре даже стали предметом настоящего психологического исследования). Кроме того, он никогда не работал над одной задачей долгое время, считая, что подсознание уже получило задачу и продолжает работу, даже когда он размышляет о других вещах – вряд ли он смог бы повторить подвиг Григория Перельмана или Эндрю Уайлса, которые долгие годы посвящали себя одной задаче[Говорю это не для того, чтобы умалить достоинства Анри Пуанкаре – возможно (хотя весьма сомнительно), обладай он тем же математическим аппаратом, что Уайлс с Перельманом, он решил бы обе задачи за завтраком]. В его трудах неоднократно обнаруживались ошибки, но и в своих ошибках он был гениален: вовремя замеченная неточность Пуанкаре в знаменитом труде о проблеме трех тел привела к развитию теории хаоса, а другая – топологическая – к той самой гипотезе, которой и посвящена эта статья.
Многочисленные книги по занимательной математике, мимо которых вы, читатели, вряд ли прошли в детстве, любят рассказывать о топологии, странной науке, в которой два предмета сравниваются только по количеству дырок в них: чайная чашка ничем не отличается от бублика, а апельсин – от Солнца. На самом деле, конечно, топология – очень глубокая наука, и объекты и свойства, которые она изучает, весьма многочисленны и разнообразны. Но прелесть в том, что для понимания сути гипотезы Пуанкаре нам ничего, кроме этих наивных представлений, и не потребуется!
Будем чуточку более формальны. Говорят, что поверхность k-связна, если на ней можно провести k-1 замкнутую кривую, которые не делят ее на две части. Сфера (поверхность апельсина) односвязна: как ни проводи на ней замкнутую кривую, кусочек вырежется; а вот поверхность бублика двусвязна – ее можно, например, разрезать поперек, превратив в цилиндр, но сохранив целостность (а вот повторно разрезать цилиндр уже не получится). Для поверхностей в трехмерном пространстве это свойство как раз и означает, что в поверхности есть k-1 «дырка». В общем случае поверхность односвязна, если на ней любую замкнутую кривую можно непрерывной деформацией стянуть в точку. Интуивно очевидно, например, что поверхность бублика этим свойством не обладает (меридиан или параллель в точку не стягиваются).
Другое важное понятие – гомеоморфизм – также уже встречается в рассуждениях о неразличимости чашки и бублика. Именно в этой неразличимости и дело: гомеоморфизм – это непрерывное преобразование, деформация, которой можно подвергнуть множество, сохранив при этом его топологические свойства (например, k-связность). Чашку легко непрерывным преобразованием превратить в бублик, а апельсин – в Солнце. При этом преобразовании сохраняются важнейшие топологические инварианты (об инвариантах я уже рассказывал в статье, посвященной гипотезе Ходжа), такие, как число k. Два множества, которые можно гомеоморфизмом превратить друг в друга, с топологической точки зрения считаются эквивалентными.
Гипотеза Пуанкаре состоит в том, что каждая односвязная трехмерная поверхность гомеоморфна трехмерной сфере. Хочу обратить особое внимание на то, что «трехмерная поверхность» может размещаться в пространстве, чья размерность как минимум 4! Трехмерная сфера – это поверхность четырехмерного шара (привычная нам двухмерная сфера – поверхность трехмерного шара).
Григорий Яковлевич Перельман родился и вырос в Ленинграде, учился в знаменитой 239-й школе. В 1982 году выиграл Международную математическую олимпиаду, набрав максимально возможное количество баллов. Степень кандидата наук получил в СПбГУ, затем некоторое время работал в Петербургском отделении математического института РАН; в конце восьмидесятых уехал в США, где работал до середины девяностых, а затем вернулся в Россию; сейчас снова работает в ПОМИ.
История доказательства гипотезы Пуанкаре напоминает историю доказательства теоремы Ферма: как и Эндрю Уайлс, Перельман на долгих семь лет (с возвращения в Россию до 2002 года) практически перестал публиковаться и вообще почти ничем не напоминал о себе. Никто не знал, над чем он работал. Затем, как гром среди ясного неба, – препринт (предварительная версия статьи, обычно предшествующая публикации и нужная для того, чтобы установить приоритет и довести свои результаты до научного сообщества), помещенный Перельманом на популярный препринт-сервер arXiv [Вот ссылки на препринты Перельмана на этом сервере, содержащие доказательство гипотезы Пуанкаре: http://arxiv.org/abs/math.DG/0211159 ,http://arxiv.org/abs/math.DG/0303109] в ноябре 2002 года. В препринте содержалось доказательство более общего геометрического факта, из которого, в частности, вытекала гипотеза Пуанкаре.
В 2003 году Григорий Яковлевич дополнил первый препринт еще одним, в котором подробнее изложил технические подробности доказательства. Кроме того, он выступил с лекциями, где комментировал свои идеи. Казалось бы, больше ничего не нужно: проверяйте доказательство и платите миллион. Однако одним из условий фонда Clay Mathematics Institute была публикация результата в реферируемых изданиях, а этого Перельман почему-то делать не хотел. Он вообще старался (и до сих пор старается) избегать любых контактов с прессой; создается впечатление, что приз Григория Яковлевича не интересует, а неразрывно связанная с ним слава – тяготит.