Кра'тные едини'цы, единицы, которые в целое число раз больше системных или внесистемных единиц физических величин. В Международной системе единиц образование К. е. осуществляется по принципу десятичности в соотношениях К. е. с исходными единицами (см. также Дольные единицы). Наименование К. е. образуется из наименования исходной единицы с помощью приставок:

  Примеры: декалитр (дал) = 10 л, километр (км) = 10³ м, мегагерц (Мгц) = 10⁶ гц и т. п.

Кра'тные звёзды, система 3—7 близких друг к другу в пространстве звёзд, обращающихся вокруг общего центра масс под действием сил тяготения. Системы 8 и более звёзд большей частью являются ядрами звёздных скоплений. К. з. типа трапеции Ориона — системы с компонентами, расстояния между которыми примерно равны; такие К. з. могут быть неустойчивы. В некоторых случаях к К. з. может быть отнесена звезда, находящаяся значительно дальше или ближе системы и лишь проецирующаяся на неё на небе. Компоненты К. з. сами могут быть тесными двойными (спектральными, затменными и т. д.). В этом случае общее число звёзд в системе К. з. может оказаться больше 7. См. Двойные звёзды.

Кра'тные свя'зи, тип химической связи, осуществляемой двумя или тремя парами электронов, общими для двух непосредственно соединённых атомов, как, например, в этилене H₂C = CH₂, формальдегиде H₂C = О, ацетилене HC º CH, синильной кислоте Н—С º N (подробнее см. Двойная связь. Тройная связь).

Кра'тный интегра'л, интеграл от функции, заданной в какой-либо области на плоскости, в трёхмерном или n-мерном пространстве. Среди К. и. различают двойные интегралы, тройные интегралы и т. д. n-кратные интегралы.

  Пусть функция f (x, y) задана в некоторой области D плоскости хОу. Разобьем область D на n частичных областей d_i, площади которых равны s_i, выберем в каждой области d_i точку (x_i, h_i) (см. рис.) и составим интегральную сумму

Если при неограниченном уменьшении максимального диаметра частичных областей d_i суммы S имеют предел независимо от выбора точек (x_i, h_i), то этот предел называют двойным интегралом от функции f (x, у) по области D и обозначают

Аналогично определяется тройной интеграл и вообще n-кратный интеграл.

  Для существования двойного интеграла достаточно, например, чтобы область D была замкнутой квадрируемой областью, а функция f (x, y) была непрерывна в D. К. и. обладают рядом свойств, аналогичных свойствам простых интегралов. Для вычисления К. и. обычно приводят его к повторному интегралу. В специальных случаях для сведения К. и. к интегралам меньшей размерности могут служить Грина формулы и Остроградского формула. К. и. имеют обширные применения: с их помощью выражаются объёмы тел, их массы, статические моменты, моменты инерции и т. п.

  Лит. см. при статьях Интегральное исчисление, Интеграл.

Рис. к ст. Кратный интеграл.

Кра'тный ко'рень многочлена

f (x) = axⁿ + a₁x^n-1 +... + a_n,

число с такое, что f (x) делится без остатка на вторую или более высокую степень двучлена (х — с). При этом с называют корнем кратности, если f (x) делится на (х—с) ^k, но не делится на (х—c) ^k+1. Корень многочлена f (x) кратности k является также корнем производных этого многочлена до (k — 1)-го порядка включительно, т. е. многочленов f’(x), f''(x),..., f ^(k-1)(x). К. к. многочлена f (x) называется К. к. уравнения f (x) = 0. См. также Корень, Уравнение.

Кра'тных отноше'ний зако'н, закон Дальтона, один из основных законов химии: если два вещества (простых или сложных) образуют друг с другом более одного соединения, то массы одного вещества, приходящиеся на одну и ту же массу другого вещества, относятся как целые числа, обычно небольшие. К. о. з. открыт в 1803 Дж. Дальтоном и истолкован им с позиций атомизма. Примеры: 1) состав окислов азота (в процентах по массе) выражается следующими числами:

Разделив числа нижней строки на 0,57, видим, что они относятся как 1: 2: 3: 4: 5.

  2) Хлористый кальций образует с водой 4 гидрата, состав которых выражается формулами: CaCl₂×H₂O, CaCl₂×2H₂O, CaCl₂×4H₂O, CaCl₂×6H₂O, т. е. во всех этих соединениях массы воды, приходящиеся на одну молекулу CaCl₂, относятся как 1: 2: 4: 6.