Вопрос о целочисленных решениях различного вида уравнений также восходит к древности. Простейшим уравнением в целых числах является линейное уравнение аХ + bY = с, где a, b и с — попарно взаимно простые целые числа. С помощью алгоритма Евклида находится решение уравнения аХ + bY = 1, из которого затем получаются все решения первоначального уравнения. Другим уравнением в целых числах является уравнение X² + Y² = Z² (решение Х = 3, Y = 4, Z = 5 связано с именем Пифагора), все целочисленные решения которого выписаны в «Началах» (кн. X, предложение 29) X = r²—q², Y = 2rq, Z = r²+q², где r и q — целые числа. Евклиду было известно также и уравнение аХ² +1= Y², названное впоследствии Пелля уравнением. В «Началах» (кн. X, предложение 9) Евклид показал, как находить все его решения, исходя из наименьшего, для случая а = 2. Систематическое изложение теории известных к тому времени уравнений в целых числах дано Диофантом в его «Арифметике» (середина 3 в. н. э.). Эта книга сыграла большую роль в дальнейшем развитии той части Ч. т., которая занимается решением уравнений в целых числах, называемых теперь диофантовыми уравнениями.

  Следующий этап в развитии Ч. т. связан с именем П. Ферма, которому принадлежит ряд выдающихся открытий в теории диофантовых уравнений и в теории, связанной с делимостью целых чисел. Им была выдвинута гипотеза, получившая название Ферма великая теорема, и доказана теорема, известная как Ферма малая теорема, которая играет важную роль в теории сравнений и её позднейших обобщениях. Продолжая исследования Ферма по теории делимости чисел, Л. Эйлер доказал теорему, обобщающую малую теорему Ферма. Ему принадлежат также и первые доказательства великой теоремы Ферма для показателя n = 3.

  К началу 18 в. в науке о целых числах накопилось много фактов, позволивших создать стройные теории и общие методы решения задач Ч. т.

  Л. Эйлер был первым из математиков, кто стал создавать общие методы и применять др. разделы математики, в частности математический анализ, к решению задач Ч. т. Исследуя вопрос о числе решений линейных уравнений вида

a₁X₁ +... + а_пХ_п = N,

  где a₁,..., a_n — натуральные числа, в целых неотрицательных числах X₁,..., Xn, Л. Эйлер построил производящую функцию Ф (z) от переменной z, коэффициенты которой при разложении по степеням z равняются числу решений указанного уравнения. Функция Ф (z) определяется как формальное произведение рядов

  т. е. Ф (z) = Ф₁(z)^....^. Ф_к (z), каждый из которых сходится при ½z½ < 1 и имеет достаточно простой вид, являясь суммой членов бесконечной геометрической прогрессии:

  Следовательно,

  причём I (N) — число решений изучаемого уравнения. Метод производящих функций Эйлера послужил истоком кругового метода Харди—Литлвуда, далеко идущим развитием которого, в свою очередь, явился метод тригонометрических сумм И. М. Виноградова.

  Другой проблемой Ч. т., стимулировавшей создание мощного метода, была проблема простых чисел. Л. Эйлер, доказывая теорему Евклида о бесконечности числа простых чисел, рассмотрел произведение по всем простым числам р:

  при s > 1. Это произведение сходится, и если его раскрыть, то в силу однозначности разложения натуральных чисел на простые сомножители получается, что оно равняется сумме ряда

откуда следует тождество Эйлера:

  Так как при s = 1 ряд справа расходится (гармонический ряд), то из тождества Эйлера следует теорема Евклида. Эта идея Л. Эйлера легла в основу позднейших теорий дзета-функции. Л. Эйлеру и Х. Гольдбаху принадлежат первые постановки аддитивных (т. е. связанных со сложением) задач с простыми числами.

  К середине 19 в. в основном было построено здание Ч. т., что связано с именами К. Гаусса, Ж. Лагранжа, А. Лежандра, П. Дирихле, П. Л. Чебышева, Ж. Лиувилля, Э. Куммера.

  К. Гаусс создаёт теорию сравнений, называемую иначе арифметикой остаточных классов, с помощью которой были доказаны теорема о том, что простое число является суммой двух квадратов тогда и только тогда, когда оно имеет вид 4n + 1, и теорема о представимости каждого натурального числа суммой четырёх квадратов целых чисел. Кроме того, теория сравнений привела к важным понятиям теоретико-числового характера и тригонометрической суммы. Простейшим характером является Лежандра символ.

  К. Гаусс изучил свойства квадратичных вычетов и невычетов. Основной теоремой в этом круге вопросов является т. н. квадратичный закон взаимности, при доказательстве которого К. Гаусс рассмотрел конечные суммы вида

0 < a, р — 1, а — целое.

  Суммы такого вида и их обобщения стали называть тригонометрическими, т.к. в силу формулы Эйлера e^ij = cosj ± isinj они могут быть представлены в виде суммы синусов и косинусов.

  К. Гаусс, а затем П. Дирихле, продолжая исследования Л. Эйлера, создали теорию квадратичных форм, другими словами, — теорию о представлении натуральных чисел формами вида ax²+ 2bxy + су², где а, b, с — целые числа.

  К. Гаусс и П. Дирихле первыми стали рассматривать проблему о количестве целых точек в областях на плоскости. К. Гаусс доказал, что число целых точек в круге X²+Y² £ R² равно pR² + O (R), а П. Дирихле, в свою очередь, доказал, что число целых точек с положительными координатами под гиперболой xy = N равно

где С — Эйлера постоянная. Обобщения этих двух предложений, а также нахождение наилучших возможных остатков в написанных формулах (проблема целых точек в круге Гаусса и проблема делителей Дирихле) послужили источником большой главы Ч. т.