В повседневном мире числа часто ведут себя плохо. Однако у людей имеется врожденное, пришедшее из древности чувство, что этого быть не должно. В абстрактном понятии числа, взятого вне связи с подсчетом бусинок, диалектов или облаков, есть нечто чистое и точное; должен существовать способ говорить о числах, не примешивая к ним глупую повседневность. Твердые правила, управляющие идеальными числами, являются основой арифметики, в то время как их следствия лежат в основе теории чисел. При переходе от чисел как объектов повседневной жизни к числам как объектам формальной системы возникает следующий важный вопрос: возможно ли заключить всю теорию чисел в рамки одной формальной системы? Действительно ли числа так чисты, ясны и регулярны, что их природа может быть полностью описана правилами какой-либо формальной системы? Картина «Освобождение», одно из самых прекрасных произведений Эшера, иллюстрирует этот удивительный контраст между формальным и неформальным и поразительную зону перехода между ними. Действительно ли числа свободны, как птицы? Страдают ли они, уловленные в тесную клетку формальной системы? Существует ли магическая зона перехода между числами, используемыми в повседневной жизни, и числами, написанными на бумаге?
Говоря о свойствах натуральных чисел, я имею в виду не только такие свойства, как, скажем, сумма определенной пары чисел. Ее легко можно подсчитать; никто из нас, выросших в двадцатом веке, не сомневается в возможности механизации таких процессов, как подсчет, сложение, умножение, и т. д. Я имею в виду такие свойства чисел, исследованием которых занимаются математики и для познания которых не достаточно, даже теоретически, никакого подсчета. Рассмотрим классический пример: утверждение «существует бесконечно много простых чисел». Прежде всего, не существует такого метода подсчета, который мог бы доказать или опровергнуть это утверждение. Лучшее, что мы можем сделать, — это затратить некоторое время на подсчет простых чисел и заключить, что их действительно имеется «целая куча». Однако никакой подсчет не скажет нам того, конечно или бесконечно количество простых чисел; любой подсчет всегда останется неполным. Это утверждение, называющееся «Теорема Эвклида» (обратите внимание на заглавную «Т»), совсем не очевидно. Однако со времен Эвклида все математики считают его истинным. В чем же дело?
Рис. 13. М. К. Эшер «Освобождение» (литография, 1955)
Дело в том, что этот факт следует из неких рассуждений. Давайте проследим за этими рассуждениями. Рассмотрим вариант доказательства Эвклида, показывающий, что какое бы число мы ни взяли, всегда найдется большее простое число. Возьмем число N. Перемножим все положительные целые числа, начиная с 1 и кончая N; иными словами, найдем факториал N (он пишется «N!») Полученный результат делится на все числа, меньшие чем N. Если прибавить 1 к N!, то результат
не будет делиться на 2 (так как при делении на 2 получится 1 в остатке);
не будет делиться на 3 (так как при делении на 3 получится 1 в остатке);
не будет делиться на 4 (так как при делении на 4 получится 1 в остатке);
.
.
.
не будет делиться на N (так как при делении на N получится 1 в остатке);
Другими словами, если N!+1 и делимо на какое-то число, кроме самого себя и единицы, оно делимо только на числа, большие, чем N. Следовательно, либо N!+1 само простое число, либо его простые делители больше N. В любом случае, мы показали, что должно существовать простое число, большее N, и что, следовательно, количество простых чисел бесконечно.
Кстати, этот последний шаг называется обобщением; мы еще встретимся с этим понятием в более сложном контексте. Оно заключается в том, что, начав наши рассуждения с какого-либо числа N, мы указываем, что N может быть любым числом — следовательно, наше доказательство носит общий характер.
Эвклидово доказательство типично для так называемой «реальной математики». Оно просто, точно и изящно и иллюстрирует тот факт, что несколько коротких шагов могут увести нас весьма далеко от начального пункта. В нашем случае, таким начальным пунктом являлись основные идеи о свойствах умножения, деления, и так далее. Короткие шаги — это этапы рассуждения. Хотя каждый отдельный шаг кажется очевидным, конечный результат таковым не является. Нам никогда не удастся проверить, верно ли это утверждение Эвклида; однако мы верим в его истинность, поскольку мы верим в логические рассуждения. Если вы принимаете эти рассуждения, вам не остается выхода; раз вы согласились выслушать Эвклида, вам придется согласиться с его выводом. Этот отрадный факт означает, что математики всегда могут придти к согласию по поводу того, какие утверждения считать «истинными», а какие — «ложными».
Это доказательство — пример упорядоченного процесса мысли. Каждое утверждение соотносится с предыдущим неоспоримым образом; именно поэтому мы говорим скорее о «доказательстве», чем об «очевидном свидетельстве». Целью математики всегда являлось нахождение строгого доказательства какого-либо неочевидного утверждения. Сам факт строгого соотношения шагов доказательства указывает на то, что должна существовать определенная схема, связывающая эти утверждения в одно логическое целое. Об этой схеме лучше всего рассуждать при помощи специального нового лексикона, состоящего из символов, годных только для описания утверждений о числах. Таким образом, мы сможем рассмотреть версию доказательства в «переводе». Это будет набор утверждений, строго соотносящихся между собой; причем эти отношения всегда можно описать. Утверждения, поскольку они записаны компактными, стилизованными символами, выглядят как определенные структуры. Другими словами, при прочтении вслух мы видим, что эти утверждения говорят о числах и их свойствах; записанные же на бумаге, они выглядят как абстрактные структуры. Таким образом, последовательно, строка за строкой прочитанная схема доказательства начинает казаться постепенной трансформацией структур по определенным типографским правилам.
Хотя Эвклид доказывает, что каждое число обладает определенным свойством, он, тем не менее, не рассматривает в отдельности каждый из бесконечно многих случаев. Для этого он использует выражения типа «каким бы числом N ни было», или «неважно, какое N мы возьмем». Мы могли бы перефразировать доказательство, используя фразу «все N». Умело обращаясь с подобными выражениями, мы всегда можем избежать возни с бесконечным количеством утверждений. Вместо этого мы будем иметь дело лишь с двумя-тремя понятиями, например, такими, как слово «все». Сами по себе конечные, они воплощают в себе бесконечность и поэтому позволяют нам обойти такое препятствие, как необходимость доказывать бесконечное количество фактов.
Мы используем слово «все» по-разному, что определено нашим мыслительным процессом: существуют правила, которым подчиняется наш выбор. Возможно, что мы не сознаем этого и утверждаем, что руководствуемся значением слова; однако это лишь иносказание, выражающее все ту же идею; наше мышление подчиняется определенным негласным законам. Всю жизнь мы используем слова как часть определенных структур; но, вместо того, чтобы называть эти структуры «правилами», мы приписываем их возникновение и развитие «значениям» слов. Это открытие было решающим шагом на пути формализации теории чисел.
Рассмотрев доказательство Эвклида более внимательно, мы увидели бы, что оно складывается из многих крохотных, почти бесконечно малых шагов. Если бы мы записали их одно за другим, доказательство показалось бы невероятно сложным. Оно кажется нам легче, когда несколько шагов складываются на манер телескопа и составляют одно-единственное предложение. Если бы мы рассмотрели это доказательство, как в замедленной съемке, перед нами предстали бы отдельные «секции». Другими словами, деление может идти лишь до определенного предела, за которым мы сталкиваемся с «атомной» природой мыслительных процессов. Доказательство может быть разбито на серию крохотных, но отдельных этапов; рассмотренные «издалека», они сливаются в непрерывный поток. В главе VIII я приведу пример такой «атомизации» доказательства, и вы увидите, какое множество шагов в нем участвует. Возможно, что это вас не удивит. В мозгу у Эвклида, когда он изобретал свое доказательство, работали миллионы нейронов, многие из которых давали сотни импульсов в секунду. Чтобы произнести одно-единственное предложение, в мозгу задействованы сотни тысяч нейронов. Если мысли Эвклида были настолько сложны, логично ожидать, что его доказательство также состоит из огромного количества шагов! (Хотя, скорее всего, прямой связи между нейронной активностью мозга и доказательством в нашей формальной системе не существует, они, тем не менее, сравнимы по своей сложности — словно природа желает сохранить сложность доказательства бесконечного множества простых чисел, несмотря на то, что это доказательство представлено в таких различных системах.)