4. Mebane, Walter R., Jr., and Kirill Kalinin 2009. «Comparative Election Fraud Detection». www.umich.edu/~wmebane/apsa09.pdf 79

5. Бузин А.Ю., Любарев А.Е. Преступление без наказания. Административные технологии федеральных выборов 2007–2008 годов. Группа Компаний «Никколо М», Панорама, 2008

6. Чуров В.Е., Арлазаров В.Л., Соловьев А.В. Итоги выборов. Анализ электоральных предпочтений. www.cikrf.ru/newsite/illuziya/itogi_160908.jsp 80

7. Шень А. Выборы и статистика: казус «Единой России» (2009). http://alexander.shen.free.fr/elections.pdf 81Некоторые массивы выборных данных, использованные в статье, размещены на сайте Независимого института выборов, на странице www.vibory.ru/elects/UIK.htm 82

С автором статьи можно связаться по электронной почте podmoskovnik@gmail.com 83или через его блог podmoskovnik.livejournal.com 84

P.S.

Когда верстался номер, пришло сообщение о том, что на участке № 192 в Хамовниках, где голосовал глава «Яблока» Сергей Митрохин с семьей и где по официальным результатам не было подано ни одного голоса за «Яблоко», в соответствии с решением Хамовни-ческого суда был произведен пересчет бюллетеней. В результате пересчета среди 87 бюллетеней, ранее засчитанных КПРФ, было найдено 16 бюллетеней за «Яблоко», 3 бюллетеня за ЛДПР и 1 за «Патриотов России». Среди 29 бюллетеней за «Справедливую Россию» было найдено 2 недействительных. Среди 904 бюллетеня за «Единую Россию» неправильно подсчитанных обнаружено не было.

Таким образом, среди 116 бюллетеней, поданных за оппозиционные партии, оказалось 22 неверно учтенных, а среди 904 бюллетеней за ЕР — ни одного. Нетрудно подсчитать, что вероятность такого события, в предположении, что при изначальном подсчете все бюллетени учитывались одинаково тщательно и пересчет выполнен точно, составляет (116!*998!)/(94!*1020!), т.е. примерно 2,5 на 10 в минус 22-й степени. Российская избирательная система еще раз подтвердила, что для нее нет непреодолимых препятствий в теории вероятностей.

С.Шпилькин, независимый исследователь

87

Любому человеку, имевшему опыт столкновения с математическим анализом, известно: тяжело вначале — потом довольно легко. Кажется, даже медведя можно обучить дифференцировать по заданным правилам. Искать пределы на практике тоже можно наловчиться. А вот дать точное определение предела последовательности или функции да еще объяснить его может лишь один студент технического вуза из пяти (о старшеклассниках и говорить не приходится). Действительно, банальная сходимость последовательности x(n) к 5 формально выглядит как

∀ ε>0 ∃ N(ε): ∀ n>N x(n) — 5 < ε.

(Для людей, не ежедневно соприкасающихся с математическим анализом, привожу вариант определения на русском языке: «Для любого, возможно очень маленького, но положительного числа эпсилон всегда найдется номер, зависящий от этого эпсилон такой, что все члены последовательности с номерами больше этого отличаются от 5 менее чем на эпсилон».)

Возникает искушение говорить о предмете неформально. Например, определение вектора как «направленного отрезка» ненаучно, но на практике не приводит ни к каким бедам. Такой неформальный, разговорный подход к теме можно уподобить черному ходу в дом. Но в нашем случае черный ход (правдоподобные разговоры об «очень маленьких числах») ведет в другой дом. Напомним вкратце историю предмета, впрочем, хорошо известную специалистам.

Анализ бесконечно малых возник в головах Ньютона и Лейбница в XVII в. Эти два гения, не нуждаясь в формализации своих интуитивных озарений, делали верные умозаключения. Но даже великие математики того времени, полагаясь на интуитивное полупонимание предмета, совершали нелепые и комические ошибки. И лишь 200 лет спустя Коши и Адамар сочинили «язык е — А», на котором можно доказательно рассуждать о бесконечно малых. Так что неформальной альтернативы ему нет, и, если пропустить этот этап обучения, все здание матанализа будет лишено твердого фундамента, а все навыки студента сведутся к непонятным по сути обычаям и пассам.

Так что остается вдохнуть и выдохнуть — и все же одним учить определение предела, а другим — его (по возможности доходчиво) преподавать.

Есть предел последовательности, есть функции. Аргумент функции может стремиться к некоторому числу слева, справа или с обеих сторон, а может — к ±оо (плюс-минус бесконечности). Значение — к конечному или бесконечному пределу. Если различать +<» и -» (а формулы их различают), мы получим только в случае функций 15 конкретных определений предела. Понятно, что заучить их без понимания — непосильный труд. Они во многом однотипны; надо усвоить их внутреннюю логику.

Сложность для студента представляют три квантора, всегда идущие в одном порядке:

∀… ∃… ∀… (для любого ... существует ... для любого)

Возникает естественная идея: а что если исходить не из содержания каждого отдельного квантора, а из самой идеи их чередования? Пусть их будет вообще много:

∀… ∃…∀… ∃…∀… ∃…∀… ∃…∀… ∃…∀… ∃…∀… ∃…

На что это похоже?

Представим себе игру на двоих типа шахмат (чередование ходов), но для простоты — без возможности ничейного исхода. То есть неминуем мат белым (МБ) или мат черным (МЧ). Тогда нетрудно заметить, что из данной позиции мат черным в три хода записывается такой формулой (где б(к); ч(к) — соответственно к-е ходы белых и черных):

∃ б(1) ∀ ч(1) ∃б(2) ∀ ч(2) ∃б(3) МЧ

(Опять по-русски: Есть такой первый ход белых, что на любой ответ черных найдется — естественно, не универсальный, а зависящий от этого ответа второй ход белых, такой, что на любой ответ черных третьим ходом — белые ставят мат.)

Мат же белым предполагает другое начало — с квантора всеобщности: как бы ни пошли белые, они обречены.

Наша игра «предел» предполагает три хода — белых, черных и белых, потом — сверку полученного результата и непременный выигрыш черных. Вот как выглядит сходимость последовательности к 5 (исходная формула):

Первый играющий называет значение числа е. Например, 0,000000001.

Второй, подумав, выдает N = 16573. Первый вправе назвать любое число больше N. Он называет 16585.

Идет сверка. И х(16585) — 5 оказывается меньше 0,000000001.

Первый расплачивается. Азарт толкает его на повторение эксперимента. Теперь он выдвигает и вовсе микроскопическое s = 0,000000000000000000000000000000000000001.

Второй, подумав, выдает N=178539763. И, вне зависимости от следующего декоративного хода Первого, Второй выигрывает по итогам сверки.

Если Первый — не клинический идиот и не чересчур богат, после получаса игры он понимает две вещи:

1) второй выигрывает всегда (это и есть сходимость — квантор в квантор);

2) так как он выигрывает одним ходом, в нем заключена суть выигрыша.

Опыт показывает, что такая игровая модель наглядна и способствует лучшему усвоению материала.

Здесь же — и возможность немного неформального, нестрогого, но быстрого и конструктивного определения предела, того самого разумного упрощения без катастрофической потери смысла. В подавляющем большинстве случаев сходимость последовательности (функции) — это способ вычисления N (или А) по s. Иначе говоря, решающий ход. Заметим, что просто наблюдением за формулой предела выделить из нее решающее звено 3 N(s) не так-то легко. А в метафоре игры — мгновенно.