Закон Гука

Роберт Гук был первым, кого осенила догадка о том, что происходит при нагружении твердого тела. Он был не только физиком, но и известным архитектором и инженером. Ему нередко случалось беседовать со знаменитым часовых дел мастером Томасом Томпионом (1639–1719). Они толковали о поведении пружин и маятников. Ничего не зная, конечно, о химических и электрических межатомных связях, Гук понял, что часовая пружина - всего лишь частный случай поведения любого твердого тела, что в природе нет абсолютно жестких тел, а упругость является свойством всякой конструкции, всякого твердого тела.

Свои претензии на приоритет Гук оговорил в работе "Десяток изобретений, которые я намерен опубликовать" (1676). Среди других проблем там была "Истинная теория упругости и жесткости". Под этим заголовком стояла лишь анаграмма ceiiinosssttuu, которую можно было понимать как угодно. Лишь тремя годами позже в трактате о пружинах "De potentia restitutiva" ("О восстанавливающей силе") Гук расшифровал ее латинской фразой "Ut tensio sic uis" — "Каково удлинение, такова и сила".

Иными словами, напряжение пропорционально деформации, и наоборот. Так, если упругое тело, например струна, удлиняется на 1 см под нагрузкой 100 кг, то под нагрузкой 200 кг удлинение составит 2 см и так далее, pro rata[9]. Это утверждение известно как закон Гука. Оно является краеугольным камнем всей техники.

По существу, закон Гука является приближенным соотношением, которое вытекает из характера межатомных взаимодействий. Различные типы химических связей (Приложение I) в конечном счете дают зависимость действующей между двумя атомами силы от расстояния между атомами, как это схематически показано на рис. 3.

Рис. 3. Зависимость силы, действующей между двумя атомами, от расстояния между ними.

При очень больших деформациях - скажем 5–10% - от пропорциональности между напряжениями и деформациями не остается и следа. Но обычно деформации не превышают ±1%, а в этом диапазоне зависимость между напряжениями и деформациями линейна. Кроме того, для малых деформаций процесс нагрузки и разгрузки обратим, то есть кусок материала можно нагрузить и снять с него нагрузку тысячи и миллионы раз с одним и тем же результатом. Наглядный пример этому - пружинка балансира в часах, которая повторяет этот процесс 18 000 раз в час. Такой тип поведения твердого тела под нагрузкой называется упругим. Упругое поведение свойственно большинству технических материалов, хотя существуют и материалы с пластическим поведением. Наиболее ярко пластичность проявляется у таких веществ, как пластилин, оконная замазка - эти материалы не подчиняются закону Гука: после снятия внешних нагрузок их форма и размеры не восстанавливаются.

Вообще говоря, наука об упругости изучает напряжения и деформации в твердых телах. Не только во времена Гука, но даже и совсем недавно мы мало знали об упругих свойствах материалов. В тех случаях, когда их деформации превышали примерно 1%, они либо разрушались, либо утрачивали упругие свойства. Поэтому кривая зависимости межатомной силы от расстояния при больших смещениях атомов из положения равновесия (рис. 3) представляла главным образом академический интерес, на практике больших напряжений достигнуть не удавалось. И лишь сравнительно недавно появилась возможность растянуть очень прочные нитевидные кристаллы - усы - до деформаций от 3 до 6%. Эти опыты подтвердили, что закон Гука не всегда верен. Зависимость напряжения от деформации на графике отклоняется от прямой линии и следует кривой межатомной силы, которая была рассчитана ранее физиками-теоретиками. На рис. 4 показана такая кривая для кремниевого уса, деформированного более чем на 3%.

Рис. 4. Кривая напряжение-деформация очень кремниевого кремниевого уса, который был деформирован в испытательной машине до 3,6%. Поведение уса при больших деформациях не подчиняется закону Гука.

(обратно)

Модуль Юнга

Гук установил, что удлинения, укорочения, прогибы как пружин, так и других упругих тел пропорциональны приложенным к ним нагрузкам. Они зависят, конечно, от геометрических размеров и формы конструкции, а также от того, из какого материала она сделана. Мы не знаем, понимал ли Гук, в чем разница между упругостью как свойством материала и упругостью как функцией формы и размеров конструкции. Дело в том, что можно получить сходные кривые "нагрузка - удлинение" и для куска резинового шнура, и для завитого куска стали, который мы называем пружиной, - это сходство явилось источником бесконечных заблуждений. Примерно столетие после Гука существовала эта путаница: не всем была ясна разница между двумя понятиями упругости.

Около 1800 года Томас Юнг (1773–1829) пришел к выводу, что, если пользоваться не абсолютными значениями сил и смещений в конструкциях, а напряжениями и деформациями, то закон Гука можно записать в следующем виде: Напряжение / Деформация = σ/ε константа.

Юнг заключил, что эта константа является неотъемлемой характеристикой каждого химического вещества и представляет его жесткость. Мы называем эту константу упругости модулем Юнга и обозначаем буквой E. Итак, E = σ/ε

Следовательно, Е описывает жесткость материала как такового. Жесткость любого заданного объекта зависит не только от модуля Юнга материала, но и от геометрической формы объекта. Между прочим, считают, что Юнг "был человеком великой учености, но, к сожалению, он никогда даже не подозревал, что возможности заурядного ума ограничены"[10]. Его идея о модуле упругости была изложена в не очень понятной статье, опубликованной в 1807 году. К этому времени Юнгу запретили читать лекции в Королевском институте, так как считали, что он слишком далек от практики. Так и случилось, что одно из самых распространенных ныне и полезных технических понятий не было принято и внедрено в инженерную практику при жизни автора.

Громадная важность модуля упругости для техники объясняется двумя причинами. Во-первых, нам нужно точно знать возникающие под нагрузками смещения как в конструкции в целом, так и в различных ее частях. Разнообразие конструкций огромно - мосты, самолеты, коленчатые валы и т.д. Посмотрите, например, на деформированное крыло самолета (рис. 5). Под действием рабочих нагрузок взаимодействие деталей в конструкции не должно нарушаться[11]. В таких расчетах нам в первую очередь нужны величины Е.

Рис. 5. Самолет, в котором деформация лонжеронов крыла составляет 1,6% (радиус кривизны балки = Толщина / [2xДеформация])

Во-вторых, хотя неспециалисту и позволено думать, что жесткости всех конструкционных материалов практически одинаковы и говорить "Отлично, это вполне жестко! Не видно никаких смещений", такие суждения не соответствуют действительному положению вещей. Нам необходимо знать модули упругости различных материалов (стали, древесины и т.д.) не только для того, чтобы рассчитать деформации конструкции, но и для того, что бы деформации ее отдельных элементов были согласованными - тогда и напряжения между этими элементами будут распределяться так, как мы хотели этого, проектируя конструкцию. Определяя модуль Юнга, мы разделили напряжение на безразмерное число - деформацию, следовательно, модуль должен иметь размерность напряжения (кг/мм2, Н/м2 и т.п.). Если деформация равна 1 (100%), то напряжение оказывается равным модулю упругости. Стало быть, модуль упругости можно считать таким напряжением, которое удваивает длину упругого образца (конечно, если он прежде не разрушится). Легко себе представить, что величина модуля упругости должна быть большой, обычно она по крайней мере в 100 раз больше разрушающего напряжения: ведь мы упоминали уже, что материалы, как правило, разрушаются, когда их упругая деформация не превышает 1%. Модуль Юнга для стали, например, составляет около 20000 кг/мм2.