Одновременно возникла математика и у индийцев. После похода Александра Македонского в Индию на границе этой страны были основаны небольшие греческие государства. Через их посредство Греция поддерживала торговые отношения и обмен знаниями с народами Индии.

Еще в IV веке до н. э. строителям жертвенников в Индии были известны свойства катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника. Индийцы сформулировали их в следующем выражении: «Диагональ прямоугольника производит то, что производят отдельно длинная и короткая стороны прямоугольника», то-есть им была известна теорема Пифагора.

Позднее именно индийцы придумали знаки для обозначения чисел и нуля, которые были заимствованы у них арабами, а от них перешли как «арабские» в Европу. Индийцам принадлежит и честь изобретения «позиционной» системы написания чисел: в ней каждая цифра обозначает десятки, сотни и так далее, в зависимости от места.

В V–VI веках н. э. дроби изображались индийцами так же, как и теперь: вверху — числитель, внизу — знаменатель; только они не были разделены чертой.

Математики Индии уже противопоставляли положительным величинам отрицательные, над которыми для отличия ставилась точка. Они признавали отрицательные корни уравнений, считавшиеся недопустимыми даже в III–IV веках знаменитым греческим математиком Диофантом.

Положительным количествам, «имуществу», они противопоставляли отрицательные— «долг».

Задачи индийских математиков большей частью имели необычайную для нас форму. Вот, например, одна из них:

«Из пчелиного роя 1/4 опустилась на один цветок, а 2/3 полетело на другой цветок. Одна пчела, равно привлекаемая сладостным благоуханием обоих цветков, жужжит в воздухе. Скажи мне, прелестная женщина, сколько было всего пчел?»

Решение этих задач требовало знания уравнений как первой степени, так и квадратных, которые уже были известны индийцам.

Греческие философы поняли практическое значение математики, как только познакомились с геометрией в Египте.

Философ Фалес (конец VII — начало VI века до н. э.) и его ученик Анаксимандр (около 610–546 до н. э.) уже применяли свои геометрические познания к решению астрономических задач.

Первые греческие математики обладали лишь элементарными познаниями. Фалесу были известны свойства равнобедренного треугольника, равенство вертикальных углов (то-есть образованных пересечением двух линий и лежащих друг против друга), деление на две равные части круга его диаметром. Эти знания он заимствовал у египетских жрецов.

«Побывав в Египте, — гласит старинное греческое предание, — Фалес привез в Элладу геометрию. Многое он открыл сам, зачатки многого передал своим преемникам». Но, заимствовав математические познания у египтян и вавилонян, греки стремились развить их, привести в систему и лишить ореола таинственности.

Совсем иное направление дал математике один из учеников Фалеса, прославленный Пифагор (около 580–500 до н. э.).

Пифагор долгое время прожил в Египте и путешествовал по Вавилонии. Общаясь с жрецами этих стран, он заимствовал от них не только познания в геометрии и арифметике. Его заинтересовала также магия — «колдовское» искусство, тесно связанное с религиозными предрассудками. Он увлекался и астрологией — ложной наукой предсказания будущего по положению на небесной сфере светил.

Пифагор поддался влиянию мистицизма жрецов, наложившего отпечаток на его философское учение. Даже математика в его изложении имела мистический характер.

Числа, обозначающие лишь величину или количество, получили в глазах пифагорейцев какое-то особенное значение. В них видели «начало» всех вещей природы, которое было предметом поисков греческих философов. Им приписывалось «совершенство» и «несовершенство» и другие качества, свойственные телам природы. Число 6 считалось пифагорейцами воплощением оживления, 7 — здоровья, 8 — дружбы, и так далее.

Пифагорейская мистика чисел в течение ряда веков действовала на воображение ученых Европы.

Предание связало с именем Пифагора известную теорему о равенстве площади квадрата, построенного на гипотенузе, сумме площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника.

Письменного доказательства открытия этой теоремы Пифагором не осталось. Но вероятно, что он первый сформулировал в виде теоремы эмпирический вывод из практики кровельщиков, плотников, строителей и «натягивателей веревок» — землемеров.

Каждый кровельщик, конечно, знал, что квадраты, построенные на катетах прямоугольного треугольника, содержат вместе столько черепиц, сколько их укладывается в квадрате, построенном на гипотенузе. Оставалось выразить это знание в терминах геометрии, чтобы «открыть» теорему Пифагора.

Вот почему эта теорема в греческой геометрии носила название «моста ослов», то-есть истины, известной всем, кроме невежд.

В механике Пифагору принадлежит открытие, что гармонические звуки издаются струнами, длины которых находятся в простом числовом отношении. Пифагорейцы установили, что одинаково натянутые струны равной толщины, если их длины относятся как 1:2, 2:4, 3:4, 4:5, дают консонирующие звуки[1].

Но пифагорейцы приписали гармоничность сочетаний этих звуков числам, выражающим отношение между длинами струн. Подобную же «гармонию» они стали искать и во всех других явлениях природы.

Математика древних греков получила наибольшее развитие в александрийский период.

Александрия — мировой коммерческий порт античного времени — была основана Александром Македонским у устья Нила в 30-х годах IV века до н. э.

После смерти Александра Македонского в 323 году до н. э. Египтом правил Птолемей, сын Лага (Птолемей I Сотер). Он привлекал в Александрию ученых, писателей, архитекторов, инженеров. В начале III века до н. э. была основана Александрийская академия. Для этого учреждения воздвигли великолепное здание с аудиториями, рабочими комнатами и жилыми помещениями для ученых. При академии несколько позднее была собрана богатейшая библиотека, в которой хранились подлинники сочинений философов, математиков, астрономов и других ученых. Владельцам этих подлинников оставлялись только копии.

В эпоху расцвета научной деятельности Александрийской академии в ее библиотеке находилось четыреста тысяч пергаментных свитков и папирусов. Кроме того, триста тысяч свитков хранилось в храме Юпитера.

Александрия стала не только центром промышленности, но и средоточием научной деятельности и художественного творчества.

Науки, возникшие из потребностей практики, получили в трудах греческих ученых теоретическое завершение.

Астрономия на Востоке не имела других целей, кроме установления календарных дат и предсказания затмений. В Греции она стала наукой о строении вселенной.

Геометрия, бывшая в Египте, Вавилонии и Индии искусством землемеров и строителей храмов, была поднята александрийскими учеными на уровень математической теории.

Из греческих математиков раннего александрийского периода наибольшую известность получил Евклид, живший в конце IV и начале III века до н. э. Он оставил свои знаменитые «Начала» — сочинение по геометрии, в котором были исследованы свойства треугольника, параллелограммов, многоугольников, дано понятие о цилиндре, конусе и шаре. Евклид был занят задачей построения квадрата, площадь которого была бы равна площади треугольника, параллелограмма, многоугольника. Он вычислял объемы геометрических тел.

Но вычисление площади круга, поверхности и объема цилиндра и шара было еще нерешенной проблемой для Евклида.

В «Началах» Евклида геометрия впервые была приведена в стройную систему. Это сочинение служит образцом строгости доказательств и последовательности изложения.

В течение более двух тысячелетий «Начала» служили руководством при изучении геометрии. Все великие математики прошлого начинали знакомство с геометрией по этой книге.

Евклид не стремился приложить свои математические способности к физике или технике. Он, правда, разработал учение об отражении лучей света от плоских и кривых зеркал. Но это было для него чисто геометрической задачей.