Милые мои дети, мне тяжела эта необходимость. Я ценю заслуги тех ученых, о которых ставлю такой унизительный вопрос. Мне больно, что я должен поставить его. Но я должен.

И материалом для ответа на него я имею статью Гельмгольца "О происхождении и значении геометрических аксиом". Я знаю ее разумеется, лишь по русскому переводу. Он помещен в журнале "Знание" за 1876 год, № 8,- я буду цитировать перевод буквально.

----

Первые строки статьи:

"Задачею настоящей статьи является обсуждение философского значения новейших изысканий в области геометрических аксиом и обсуждение возможности создания аналитическим путем новых систем геометрии с иными аксиомами, чем у Эвклида".

Это говорит г. Гельмгольц, один из величайших - это я знаю натуралистов и - читал я, охотно верю, сам по этой его статье отчасти вижу - один из самых лучших математиков нашего времени.

Все в этой статье я совершенно ясно понимаю.

И я говорю: он,- он, автор - он не понимает, о чем он говорит в ней и что он говорит в ней. Он перепутывает математические термины и в путанице их запутывает свои мысли так, что у него в голове сформировалась совершенно бессмысленная чепуха, которую он и излагает в этой статье.

Я буду поправлять его ошибки в употреблении терминов, и техническая часть его статьи получит при этих поправках правильный смысл. Без них в ней сплошная бессмыслица.

Заметим одно словечко в тех первых строках статьи. Гельмгольц хочет обсудить философское значение предмета статьи. "Философское".- А в "философии" он ничего не смыслит. В этом-то и причина падения его в бессмыслицу.

Он вычитал где-то что-то такое, чего не понял. Мы увидим, где и что он вычитал. Но это увидим мы. Сам он этого не знает. Углубляясь в те непонятные для него мысли, он вообразил, будто бы "возможно создать аналитическим путем новые системы геометрии" различные от геометрии "Эвклида".

Это - дикая фантазия невежды, не понимающего, что он думает и о чем он думает.

Дело, в сущности, так просто, что вполне понятно во всех своих технических подробностях даже мне, при всей скудости моих математических знаний. Оно состоит вот в чем:

У каждой геометрической кривой есть свои особенности. Эллипс имеет не те качества, как гипербола, или циклоида, или синусоида. Кому это неизвестно? - Я очень плохо знаю эллипс; гиперболу - и того меньше; но и я понимаю: это разные линии. А когда они различны, то и уравнение эллипса понятно мне - различно от уравнения гиперболы. Я не знаю ни той, ни другой из этих формул. Но они различны, это понятно мне. Синусоиду я почти вовсе не знаю; но знаю: у нее есть свое особое уравнение. Что такое циклоида, я тоже почти вовсе не знаю. Но знаю: и у нее есть свое особое уравнение.

Итак? - Не все, что применимо к эллипсу, применяется к тем трем линиям. То же и о каждой из них. То же и о всякой другой геометрической линии.

Теперь, угодно ли нам будет употреблять такие выражения: "геометрия эллипса" - вместо: "Глава конических сечений, рассматривающая свойства эллипса"; "Геометрия гиперболы" - вместо: "другая глава конических сечений, рассматривающая свойства гиперболы",- и так далее? - можем говорить так, если хотим; но тогда мы должны говорить: "геометрия равносторонних прямолинейных треугольников на плоскости"; - "геометрия равнобедренных и т. д. треугольников" и т. д.- И в конце концов у нас будет столько "геометрий", сколько разных формул в "геометрии" по обыкновенному выражению.

Но, "создавая" эти тысячи, пожалуй миллионы "геометрий", мы что такое "создаем"? - Новые словосочетания, только. Мы должны помнить это. Дело у нас лишь в словах.

А Гельмгольц,- на этом,- на этом сбился, бедняжка.

Он и какие-то, не помню в эту минуту, но после найдем, какие именно,он и какие-то другие "новейшие" мастера рисовать формулы успели нарисовать какие-то уравнения каких-то линий, о которых воображается им, что эти их "открытия" очень важны. Так ли? Открытия ли это?- Я полагаю: это мелочи, которых не вписали в свои трактаты и статьи Эйлер или Лагранж, собственно, лишь потому, что пожалели - бумаги и времени писать такие пустые и очевидные даже для меня решения пустяков. Вы лучше меня можете рассудить, так ли,- но так ли, не так ли, мои милые друзья,- для сущности дела все равно. Пусть эти "открытия" Гельмгольца с компанией действительно "открытия", и притом даже "великие"; какой же убыток от этих "открытий" аксиомам Эвклида? - Никакого, разумеется.

Всякая высшая геометрическая фигурочка - лишь особенная комбинация тех же самых элементарных комбинаций, о которых говорит "Эвклид". Например: будем растягивать круг,- получим эллипс; разрежем эллипс на половины большой полуоси, будем разгибать половину эллипса,- получим сначала параболу, после - гиперболу. Я выражаюсь, вероятно, неправильно. Но вы понимаете, что я хочу сказать: все формулы криволинейной геометрии - лишь видоизменения и комбинации элементарных решений "Эвклида". Пусть геометрия совершенствуется; это прекрасно; но ровно ничего несогласного с "Эвклидом" в ней не только теперь нет, но и никогда не будет.

Так, никакое развитие математики вообще не внесет в математику вообще ровно ничего несогласного с правилами сложения и вычитания, и - спустимся еще ниже по лестнице знаний - ничего несогласного даже с арифметикой дикарей, умеющих считать только до трех.

Неужели Гельмгольц не знает этого? - Сбился, зафилософствавшись; вот и весь его грех; только.

Так. Он лишь сбился. Но каково же он сбился-то, это курьез.

Нашел он с компанией какие-то - по-моему, пустяки,- по его мнению, великие открытия. Пусть великие открытия. Нашел их и - вообразил: найдены "новые системы геометрии", не согласные с "Эвклидом". Вот до чего доводит "обсуждение философского значения", когда пустится философствовать человек, ни уха, ни рыла не смыслящий в философии.

И надобно отдать справедливость этим "новым системам геометрии": в них такие новости, что читать приятно. Приведу примеры:

Страница 4, строка 9.- "Вообразим себе мыслящие существа только двух измерений". Эти существа "живут на поверхности", и вне этой "поверхности" нет "пространства" для них. Они сами "существа двух измерений", и "пространство" у них имеет лишь "два измерения".

Что это за глупая нескладица? - Этак позволительно болтать лишь маленькому ребенку, едва начавшему учиться элементарной геометрии и сбившемуся, по нетвердому знанию первого урока, в ответе на вопрос учителя: "Что такое геометрическое тело?" - Малютка перепутал слово "поверхность" со словом "тело" - и говорит по "новой системе геометрии" Гельмгольца. Но сам Гельмгольц говорит по "системе геометрии" этого малютки - от избытка "философских изысканий".

Дальше, на той же странице, Гельмгольц пресерьезно рассуждает о "пространстве четырех измерений"; - да, четырех измерений. Это что такое? дело просто:

Напишем букву а; припишем с бока, вверху, маленькую цифру 4; будет что? Будет а4. А это что? - Это: количество или величина а в четвертой степени. Переложим на геометрический язык. Степень на языке геометрии называется "измерение". Что же будет это а4? - Будет "пространство четырех измерений". А если вместо 4 напишем, например, 999, то будет скольких измерений пространство? - Будет "пространство девятисот девяноста девяти измерений". А если вместо 999 запишем 1/10, то будет? - "пространство одной десятой доли одного измерения".- А ведь оно точно: очень, очень недурны "новые системы геометрии".

Но Гельмгольцу воображается, что сочинившаяся у него в голове белиберда о "пространстве двух измерений" и о "пространстве четырех измерений" - нечто имеющее важный смысл. И он рассуждает о "возможности" таких "пространств" совершенно серьезно. Например, на той же 4-й странице:

"Так как никакое чувственное впечатление от такого неслыханного события, как появление четвертого измерения, нам неведомо, так же как неведомо и впечатление от образования нашего третьего измерения гипотетическим существам двух измерений, то представление четвертого измерения для нас столь же недоступно, как недоступно для слепорожденного представление о цветах".