где

  Оценки X_j, получающиеся в результате решения системы нормальных уравнений, лишены систематических ошибок (Ex_j = x_j); дисперсии Dx_j; величин X_j равны kd_jj/d, где d — определитель системы (5), а d_jj — минор, соответствующий диагональному элементу [ра_ja_j] (иными словами, d_jj/d — вес оценки X_j). Если множитель пропорциональности k (k называется дисперсией на единицу веса) заранее неизвестен, то для его оценки, а также для оценки дисперсии Dx_j служат формулы:

  k » S/(n - m) и Dx_j » s²_j = Sd_jj/d (n - m)

(S — минимальное значение исходной суммы квадратов). При некоторых общих предположениях можно показать, что если количество наблюдений n достаточно велико, то абсолютная погрешность приближённого равенства x_i » X_j меньше ts_j с вероятностью, близкой к значению интеграла (1). Если случайные ошибки наблюдений d_i подчиняются нормальному распределению, то все отношения (X_j - x_j)/s_j распределены по закону Стьюдента с n - m степенями свободы [точная оценка абсолютной погрешности приближённого равенства производится здесь с помощью интеграла (2) так же, как в случае одного неизвестного]. Кроме того, минимальное значение суммы S в вероятностном смысле не зависит от X₁, X₂,..., X_m и поэтому приближённые значения дисперсий оценок Dx_j » s²_j не зависят от самих оценок X_j.

  Один из наиболее типичных случаев применения Н. к. м. — «выравнивание» таких результатов наблюдений Y_i, для которых в уравнениях (3) a_ij = a_j (t_i), где a_j (t) — известные функции некоторого параметра t (если t — время, то t₁, t₂,... — те моменты времени, в которые производились наблюдения). Особенно часто встречается в приложениях случай так называемой параболической интерполяции, когда a_j (t) — многочлены [например, a₁(t) = 1, a₂(t) = t, a₃(t) = t²,... и т.д.]; если t₂ — t₁ = t₃ — t₂ =... = t_n — t_n-1, a наблюдения равноточные, то для вычисления оценок X_j можно воспользоваться таблицами ортогональных многочленов, имеющимися во многих руководствах по современной вычислительной математике. Другой важный для приложения случай — так называемая гармоническая интерполяция, когда в качестве a_j (t) выбирают тригонометрические функции [например, a_j (t) = cos (j - 1) t, j = 1, 2,..., m].

  Пример. Для оценки точности одного из методов химического анализа этим методом определялась концентрация CaO в десяти эталонных пробах заранее известного состава. Результаты равноточных наблюдений указаны в таблице (i — номер эксперимента, t_i — истинная концентрация CaO, T_i — концентрация CaO. определённая в результате химического анализа, Y_i = T_i - t_i — ошибка химического анализа):

Если результаты химического анализа не имеют систематических ошибок, то Ey_i = 0. Если же такие ошибки имеются, то в первом приближении их можно представить в виде: Ey_i = a + bt_i (a называется постоянной ошибкой, а bt_i — методической ошибкой) или, что то же самое,

где

  Для отыскания оценок a и b достаточно оценить коэффициенты

Условные уравнения в данном случае имеют вид:

поэтому a_i1 = 1, a_i2 = t_i - t (согласно предположению о равноточности наблюдений, все p_i = 1). Так как

то система нормальных уравнений записывается особенно просто:

[a₁a₁] X₁ = [Ya₁]; [a₂a₂] X₂ = [Ya₂],

где

  Дисперсии компонент решения этой системы суть

где k — неизвестная дисперсия на единицу веса (в данном случае k — дисперсия любой из величин Y_i). Так как в этом примере компоненты решения принимают значения X₁ = -0,35 и X₂ = -0,00524, то

  Dx₁ » s₁² = 0,00427,

  Dx₂ » s₂² = 0,0000272,

  s₁ = 0,065, s₂ = 0,00522.

  Если случайные ошибки наблюдений подчиняются нормальному распределению, то отношения |X_j – x_jl/s_j (j = 1, 2) распределены по закону Стьюдента. В частности, если результаты наблюдений лишены систематических ошибок, то x₁ = x₂ = 0 и, значит, закону Стьюдента должны подчиняться отношения |X₁|/s₁ и |X₂|/s₂. С помощью таблиц распределения Стьюдента с n – m = 8 степенями свободы можно убедиться, что если действительно x₁ = x₂ = 0, то с вероятностью 0,999 каждое из этих отношений не должно превосходить 5,04 и с вероятностью 0,95 не должно превосходить 2,31. В данном случае |X₁|/s₁ = 5,38 > 5,04, поэтому гипотезу отсутствия систематических ошибок целесообразно отвергнуть; в то же время следует признать, что гипотеза об отсутствии методической ошибки (x₂ = 0) не противоречит результатам наблюдений, так как |X₂|/s₂ = 1,004 < 2,31. Т. о., можно заключить, что для определения t по результату наблюдения Т целесообразно пользоваться приближённой формулой t = Т + 0,35.