Трансцендентное уравнение

Трансценде'нтное уравне'ние, уравнение, содержащее трансцендентные функции (показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические) от неизвестного (переменного), например уравнения: sin х + lg х = х,  2^x — lg х = arc cos x.

Трансцендентное число

Трансценде'нтное число' число (действительное или мнимое), не удовлетворяющее никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами. Таким образом, Т. ч. противопоставляются алгебраическим числам. Существование Т. ч. впервые установил Ж. Лиувилль (1844). Отправной точкой для Лиувилля служила его теорема, согласно которой порядок приближения рациональной дроби с данным знаменателем к данному иррациональному алгебраическому числу не может быть произвольно высоким. Именно, если алгебраическое число а удовлетворяет неприводимому алгебраическому уравнению степени n с целыми коэффициентами, то для любого рационального числа

 должно выполняться неравенство  (с зависит только от a). Поэтому, если для заданного иррационального числа a можно указать бесконечное множество рациональных приближений, не удовлетворяющих приведённому неравенству ни при каких с и n (одних и тех же для всех приближений), то a есть Т. ч. Пример такого числа даёт:

 

…

  Другое доказательство существования Т. ч. дал Г. Кантор (1874), заметив, что множество всех алгебраических чисел счётно (то есть все алгебраические числа могут быть перенумерованы; см. Множеств теория), тогда как множество всех действительных чисел несчётно. Отсюда следовало, что множество Т. ч. несчётно, и далее, что Т. ч. составляют основную массу среди множества всех чисел.

  Важнейшая задача теории Т. ч. — это выяснение того, являются ли Т. ч. значения аналитических функций, обладающих теми или иными арифметическими и аналитическими свойствами при алгебраических значениях аргумента. Задачи этого рода принадлежат к числу труднейших задач современной математики. В 1873 Ш. Эрмит доказал, что неперово число

 является трансцендентным.

  В 1882 немецкий математик Ф. Линдеман получил более общий результат: если a — алгебраическое число, то е ^a — Т. ч. Результат Липдемана был значительно обобщён немецким математиком К. Зигелем (1930), доказавшим, например, трансцендентность значения широкого класса цилиндрических функций при алгебраических значениях аргумента. В 1900 на математическом конгрессе в Париже Д. Гильберт среди 23 нерешенных проблем математики указал на следующую: является ли трансцендентным числом a^b, где a и b — алгебраические числа, причём b — иррациональное число, и, в частности, является ли трансцендентным число

, е ^p (проблема трансцендентности чисел вида a^b была впервые в частной форме поставлена Л. Эйлером, 1744). Полное решение этой проблемы (в утвердительном смысле) удалось получить лишь в 1934 А. О. Гельфонду. Из открытия Гельфонда, в частности, следует, что все десятичные логарифмы натуральных чисел (то есть «табличные логарифмы») суть Т. ч. Методы теории Т. ч. прилагаются к ряду вопросов решения уравнений в целых числах.

  Лит.: Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.

Трансцендентные функции

Трансценде'нтные фу'нкции, аналитические функции, не являющиеся алгебраическими (см. Алгебраические функции). Простейшими примерами Т. ф. служат показательная функция, тригонометрические функции, логарифмическая функция. Если Т. ф. рассматривать как функции комплексного переменного, то характерным признаком их является наличие хотя бы одной особенности, отличной от полюсов и точек ветвления конечного порядка (см. Особая точка). Так, например, e ^z; cosz и sinz имеют существенно особую точку z = ¥, lnz — точки ветвления бесконечного порядка при z = 0 и z = ¥. Основания общей теории Т. ф. даёт теория аналитических функций. Специальные Т. ф. изучаются в соответствующих дисциплинах (теория гипергеометрических, эллиптических, бесселевых функций и т.д.).

  Лит.: Уиттекер Э.-Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 1—2, М., 1969.

Трансцендентный

Трансценде'нтный, философский термин, означающий, в противоположность имманентному, то, что запредельно по отношению к миру явлений и недоступно теоретическому познанию. В этом значении употреблен И. Кантом в соч. критичность периода (см. Соч., т. 3, М., 1964, с. 338). От термина «Т.» Кант отличал (не всегда последовательно) термин трансцендентальный. Трансцендентны, по Канту, бог, душа, бессмертие; недоступные для теоретического познания Т. предметы, по Канту, доступны вере, опирающейся на постулаты практического разума. В марксистской философии понятие Т. не употребляется.

Траншеи

Транше'и (военное), узкие длинные рвы с двусторонним или односторонним бруствером, являющиеся огневой позицией мотострелковых подразделений, приспособленные для ведения боя, защиты от огня и танков противника и позволяющие осуществлять скрытое маневрирование. Глубина Т. до 2 м. Для защиты от продольного огня Т. отрываются в виде ломаных или извилистых линий; в передней и задней крутостях оборудуются стрелковые ячейки и пулемётные площадки, подбрустверные блиндажи, ниши; отдельные участки Т. перекрываются. Крутости Т., отрытых в слабых грунтах, укрепляются жердями, щитами из досок и др. материалами.

  В 15—19 вв. Т. называли земляные рвы (так называемые параллели), применявшиеся при постепенной атаке крепостей. Т. в современном понимании широко использовались в позиционный период 1-й мировой войны 1914—18 и во 2-й мировой войне 1939—45. Каждая оборонительная позиция включала несколько линий Т., соединённых между собой ходами сообщения. Отрывались Т. вручную или при помощи землеройных машин.