Однако эти идеи, воспринятые – вероятнее всего, через Джордано Бруно – Галилеем, получили новую жизнь именно в математике и естествознании. Вопреки широко распространенному мнению о том, что Галилей был по преимуществу выдающимся экспериментатором и в гораздо меньшей степени теоретиком, чтение его сочинений свидетельствует о противоположном: Галилей неустанно искал способы логико-теоретического обоснования вводимых им методов изучения природы. И если в своих математических построениях Галилей был учеником античных математиков, прежде всего Архимеда, то в своих философско-методологических гипотезах он оказывается последователем Николая Кузанского, на что до сих пор обращали мало внимания. Подготовляя фундамент механики нового времени, Галилей опирается на принцип совпадения противоположностей и использует его при решении проблемы континуума. И в той мере, как он применяет метод Кузанца, Галилей отходит от античной математики, в рамках которой решение проблемы континуума предполагало исключение актуальной бесконечности.

Вопрос о природе континуума Галилей обсуждает при рассмотрении причины связности тел. Такой причиной он считает существование “мельчайших пустот” в телах, видя именно в пустотах источник силы сцепления. Чтобы объяснить большую сопротивляемость некоторых тел разрыву, Галилей допускает бесконечное множество ничтожно малых пустот в конечном теле. Эти пустоты должны быть бесконечно малыми, чтобы “вместиться” в теле конечного размера. Попутно отметим, что само по себе признание наличия в телах пустот еще не свидетельствует о близости Галилея к античным атомистам. Как известно, у последних пустоты, “поры” в телах выступали, напротив, как причина их разрушимости, а не как сила сцепления, как у Галилея.

К понятию бесконечно большого числа бесконечно малых, из которых “состоит” конечная величина, Галилей прибегает и в математике. Именно с помощью такого допущения он решает знаменитую задачу “Колеса Аристотеля”, сформулированную в “Механических проблемах” Псевдо-Аристотеля. В средневековой механике эта задача формулировалась так: почему при совместном качении двух концентрических кругов больший проходит такое же расстояние, как и меньший, тогда как при независимом качении этих двух кругов пройденные ими расстояния относились бы как их радиусы? Галилей разрешает проблему “аристотелева колеса” совсем не так, как автор “Механических проблем”. Последний объяснял различие скоростей точек, находящихся на разном расстоянии от центра круга, ссылаясь на то, что круговое движение точек складывается из двух движений – “естественного” (тангенциального) и “насильственного” (центростремительного), отклоняющего точку с прямого пути. В малом круге центростремительное движение больше, чем в большом.

Галилей подходит к задаче по-другому. Он начинает с допущения, которое позволяет ему сделать “предельный переход”, на котором строится все доказательство: рассматривает сначала качение равносторонних и равноугольных концентрических многоугольников. При качении большего многоугольника должен двигаться также и вписанный в него меньший. Как доказывает Галилей, меньший многоугольник пройдет пространство, почти равное пройденному большим, “если включить в пространство, пройденное меньшим, также и интервалы под дугами, не затронутые на самом деле никакой частью периметра меньшего многоугольника” (Галилей. Избр. труды. Т. 2. М., 1964. С. 133). При качении меньшего многоугольника происходят “скачки”, как бы пустые промежутки, число которых будет равно числу сторон многоугольников. При возрастании числа сторон многоугольников размеры пустых промежутков уменьшаются пропорционально увеличению числа сторон. Однако пока многоугольник остается самим собой, то, как бы ни возрастало число его сторон, они остаются все же конечными величинами, а потому и число пустых промежутков будет как угодно большим, но конечным числом. И только если мы рассмотрим случай предельного перехода, когда многоугольник превращается в круг, то дело меняется. Круг, говорит Галилей, содержит актуально бесконечное число бесконечно малых “сторон” многоугольника. Весь парадокс теперь сосредоточивается в понятии “пустых точек”, которые представляют собой промежутки, лишенные величины. Введение этих “пустых точек” служит для Галилея средством преодоления противоположности непрерывного и дискретного, на которой базировался принцип непрерывности в античной науке. Насколько эта противоположность была принципиальной также и для средневековой науки, свидетельствует, в частности, трактат математика Брадвардина (XIV в.) о континууме, где показано, к каким противоречиям приводит попытка составления континуума из неделимых (т.е. из точек).

Галилей показывает, какие новые возможности открываются перед наукой, если принять понятие актуальной бесконечности. “...Разделяя линию на некоторые конечные и потому поддающиеся счету части, нельзя получить путем соединения этих частей линии, превышающей по длине первоначальную, не вставляя пустых пространств между ее частями; но, представляя себе линию, разделенную на неконечные части, т.е. на бесконечно многие ее неделимые, мы можем мыслить ее колоссально растянутой без вставки конечных пустых пространств, а путем вставки бесконечно многих неделимых пустот” (Там же. С. 135). Так Галилей вводит понятие неделимого, или бесконечно малого, на основании которого его ученик Кавальери создал геометрию неделимых, – первую форму инфинитезимального исчисления, легшего в фундамент классической механики. Это понятие с самого начала вызывало споры среди математиков и философов, которые длились на протяжении XVII и XVIII веков.

Понятие бесконечно малого несет у Галилея печать своего происхождения и потому называется им то “пустыми точками”, то “неделимыми пустотами”, “неконечными частями линии” и, наконец, просто “неделимыми” или “атомами”. Сам Галилей неоднократно указывает на непостижимость этого понятия для человеческого ума, поскольку оно парадоксально по своей природе: оно предполагает отождествление точки и линии, что в сущности разрушает предпосылки греческой математики.

Утверждая, что континуум составляется из бесконечного числа бесконечно малых (неделимых), природа которых совершенно непостижима, поскольку они не являются ни конечной величиной, ни нулем, Галилей в сущности возвращается к парадоксам Зенона. Но если у Зенона парадоксы призваны были играть разрушительную роль (с их помощью греческий философ пытался доказать, что ни множество, ни движение невозможно мыслить, не впадая при этом в противоречие, и что, стало быть, ни то, ни другое реально не существует), то у Галилея дело обстоит иначе. С одной стороны, он с помощью парадокса разрушает античную теорию континуума, отвергая ее вместе с аристотелевской физикой. Но, с другой стороны, он хотел бы с помощью нововведения – актуальной бесконечности – выполнить вполне конструктивную задачу – обосновать возможность новой математики, которая, в отличие от математики античной, была бы математикой движущихся объектов. И действительно, первоначальная форма дифференциального исчисления базировалась на понятии бесконечно-малой, введенной Галилеем. Однако это понятие-парадокс постоянно вызывало неудовлетворение математиков и побуждало их искать путь иного обоснования дифференциального исчисления. Об этом свидетельствуют работы Лейбница, Ньютона, Карно и многих математиков XVII—XVIII вв. Удивительнее всего, что парадоксальность, связанная с понятием актуальной бесконечности, не вполне удовлетворяла и самого Галилея, о чем свидетельствует его критика собственного ученика Кавальери, который, опираясь на предложенный Галилеем метод неделимых, написал работу “Геометрия, изложенная новым способом с помощью неделимых непрерывного” (1635). Из переписки Кавальери известно, что Галилей не признавал правомерность понятий “все плоскости данного тела” и “все линии данной плоскости”, поскольку они предполагают допущение актуальной бесконечности.

Возвращение к потенциальной бесконечности при обосновании дифференциального исчисления намечается в математике второй половины XVIII в., хотя полностью преодолеть трудности, связанные с понятием бесконечно малого и с пониманием континуума как составленного из актуально бесконечного числа неделимых, и создать теорию пределов, опирающуюся на методологические принципы, близкие к античному методу исчерпывания, удалось только позднее, усилиями К.Ф.Гаусса, Б.Больцано, О.Коши и особенно К.Вейерштрасса.