Прямые методы. В. и. как самостоятельная научная дисциплина сформировалась в 18 в., главным образом благодаря работам Л. Эйлера.

  Простейшей задачей В. и. называют задачу отыскания функции x (t), доставляющей экстремум функционалу

  где F — непрерывная и дифференцируемая функция своих аргументов. При этом функция x (t) должна удовлетворять следующим условиям:

  а) она должна быть кусочно дифференцируемой,

  б) при t = t_o и t = T она должна принимать значения

  х (t_o) = х, х (Т) = х_т.     (2)

  Обе задачи, рассмотренные в начале статьи, являются частными случаями простейшей задачи В. и.

  Первые вариационные задачи были задачами механики. Они были поставлены в 18 в. и, следуя традициям того времени, первый вопрос, на который надо было ответить, был вопрос о способе фактического отыскания функции x (t), реализующей минимум функционала (1).

  Эйлер создал численный метод решения задач В. и., который получил название Эйлера метода ломаных. Этот метод был первым среди большого класса, так называемых, прямых методов; все они основаны на редукции задачи отыскания экстремума функционала к задаче отыскания экстремума функции многих переменных. Поскольку для получения решения с высокой точностью задачу приходится сводить к отысканию экстремума функции с большим числом переменных, она становится весьма сложной для ручного счёта. Поэтому долгое время прямые методы были вне основного русла, по которому направлялись усилия математиков, занимавшихся В. и.

  В 20 в. интерес к прямым методам значительно усилился. Прежде всего были предложены новые способы редукции к задаче об экстремуме функции конечного числа переменных. Поясним эти идеи на простом примере. Рассмотрим снова задачу отыскания минимума функционала (1) при дополнит. условии

  x (t_o) = x (T) = 0     (3)

  и будем разыскивать решение задачи в форме

  где j_n (t) — некоторая система функций, удовлетворяющих условиям типа (3). Тогда функционал J (x) становится функцией коэффициентов a_i:

  J = J (a_i,..., a_N),

  и задача сводится к отысканию минимума этой функции N переменных. При известных условиях, наложенных на систему функций {j_n}, решение этой задачи стремится при N ® ¥ к решению задачи (1) (см. Ритца и Галёркина методы).

  Другая причина усиления интереса к прямым методам — это систематическое изучение конечноразностных методов в задачах математической физики, начавшееся с 20-х гг. 20 в. Применение ЭВМ превращает постепенно прямые методы в основной инструмент решения вариационных задач.

  Метод вариаций. Второе направление исследований — это изучение необходимых и достаточных условий, которым должна удовлетворять функция x (t), реализующая экстремум функционала J (x). Его возникновение также связано с именем Эйлера. Предположим, что тем или иным способом построена функция x (t). Как проверить, является ли эта функция решением задачи? Первый вариант ответа на этот вопрос был дан Эйлером в 1744. В приведённой ниже формулировке этого ответа употребляется введённое в 60-х гг. 18 в. Ж. Лагранжем понятие вариации (отсюда название — В. и.), являющееся обобщением понятия дифференциала на случай функционалов.

  Пусть x (t) — функция, удовлетворяющая условию (2), a h (t) — произвольная гладкая функция, удовлетворяющая условию h (t_o) = h (T) = 0. Тогда величина

  J (x + eh) = J*(e),

  где e — произвольное действительное число будет функцией e. Вариацией dJ функционала J называют производную

  (dJ*/de)_e = 0.

  Для простейшей задачи В. и.

  Разлагая полученное выражение в ряд по степеням e, получим

  где о (e) — члены более высокого порядка. Так как h (t_o) = h (T) = 0, то, проведя интегрирование по частям во втором интеграле, найдём

  Пусть теперь x (t) реализует экстремум. Тогда функция J*(e) имеет экстремум при e = 0. Поэтому величина dJ должна обратиться в нуль. Отсюда следует: для того чтобы функция x (t) доставляла экстремум функционалу (1), необходимо, чтобы она удовлетворяла уравнению

  называемому уравнением Эйлера.

  Это — дифференциальное уравнение 2-го порядка относительно функции x (t). Необходимое условие dJ = 0 может быть применено в ряде случаев для эффективного отыскания решения вариационной задачи, поскольку функция x (t) необходимо должна быть решением краевой задачи x (t_o) = x_o, x (T) = x_T для уравнения (4). Если найдено это решение и оно единственно, то найдено тем самым и решение исходной вариационной задачи. Если краевая задача допускает несколько решений, то достаточно вычислить значение функционала для каждого из решений краевой задачи и выбрать из них то, которому отвечает наименьшее значение J (x). Однако указанный путь обладает одним существенным недостатком: не существует универсальных способов решения краевых задач для обыкновенных (нелинейных) дифференциальных уравнений.

  Уже во 2-й половине 18 в. круг задач, изучаемых В. и., значительно расширился. Прежде всего основные результаты, относящиеся к простейшей задаче В. и., были перенесены на общий случай интегральных функционалов вида

  где x (t) — вектор-функция произвольной размерности, и на функционалы ещё более общего вида.

  Условный экстремум. Задача Лагранжа. В конце 18 в. был сформулирован ряд задач на условный экстремум. Этим термином принято называть задачи отыскания функции x (t), доставляющей экстремум функционалу J (x) при каких-либо дополнительных условиях, кроме условий на концах интервала (t, T). Простейшей задачей подобного вида является класс так называемых изопериметрических задач. Своим названием этот класс задач обязан следующей: среди всех замкнутых кривых данной длины найти ту, которая ограничивает максимальную площадь.

  Значительно более сложной задачей является та, в которой ограничения носят характер дифференциальных уравнений. Эту задачу называют задачей Лагранжа; особое значение она приобрела в середине 20 в. в связи с созданием теории оптимального управления. Поэтому её формулировка даётся ниже на языке этой теории, возникшем после работ Л. С. Понтрягина и его учеников.

  Пусть x (t) и u (t) — вектор-функции размерностей n и m соответственно, причём функция x (t), которую называют фазовым вектором, при t = t_o и t = T удовлетворяет граничным условиям: