Ортогональность

Ортогона'льность (греч. orthogōnios — прямоугольный, от orthós — прямой и gōnía — угол), обобщение (часто синоним) понятия перпендикулярности. Если два вектора в трёхмерном пространстве перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. Это позволяет обобщить понятие перпендикулярности, распространив его на векторы в любом линейном пространстве, в котором определено скалярное произведение, обладающее обычными свойствами (см. Гильбертово пространство), назвав два вектора ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. В частности, вводя скалярное произведение в пространстве комплекснозначных функций, заданных на отрезке [а, b ] формулой

,

где r(х) ³ 0, называют две функции f (x) и j(x), для которых (f, j)_r = 0, то есть

,

ортогональными с весом r(х). Два линейных подпространства называется ортогональными, если каждый вектор одного из них ортогонален каждому вектору другого. Это понятие обобщает понятие перпендикулярности двух прямых или прямой и плоскости в трёхмерном пространстве (но не понятие перпендикулярности двух плоскостей). Термином ортогональные кривые обозначают кривые линии, пересекающиеся под прямым углом (измеряется угол между касательными в точке пересечения). См., например, ортогональные траектории в ст. Изогональные траектории.

Ортогональные многочлены

Ортогона'льные многочле'ны, специальные системы многочленов {р_п (х)}; n = 0, 1, 2,..., ортогональных с весом r(х) на отрезке [а, b ] (см. Ортогональная система функций). Нормированная система О. м. обозначается через

, а система О. м., старшие коэффициенты которых равны 1,— через . В краевых задачах математической физики часто встречаются системы О. м., для которых вес r(х) удовлетворяет дифференциальному уравнению (Пирсона)

Многочлен р_п (х) такой системы удовлетворяет дифференциальному уравнению

где g_n =n [(a₁ + (n + 1)b₂].

  Наиболее важные системы О. м. (классические) относятся к этому типу; они получаются (с точностью до постоянного множителя) при указанных ниже а, b и r(х).

  1) Якоби многочлены {Р_п ^(l,m)(х)} — при а = —1, b = 1 r(х) = (1—х)^l (1 + x)^m, l > —1, m > —1. Специальные частные случаи многочленов Якоби соответствуют следующим значениям l и m: l = m— ультрасферические многочлены

 (их иногда называют многочленами Гегенбауэра); l = m = —¹/₂, т. е.  — Чебышева многочлены 1-го рода T_n (x); l = m = ¹/₂, т. е.  — Чебышева многочлены 2-го рода U_n (x); l = m = 0, т. е. r(х) º 1 — Лежандра многочлены Р_п (х).

  2) Лагерра многочлены L_n (x) — при а = 0, b = + ¥ и r(х) = е^—х (их наз. также многочленами Чебышева — Лагерра) и обобщённые многочлены Лагерра

 — при .

  3) Эрмита многочлены Н_n (х) — при а = —¥, b = + ¥ и

 (их называют также многочленами Чебышева — Эрмита).

  О. м. обладают многими общими свойствами. Нули многочленов р_n (х) являются действительными и простыми и расположены внутри [а, b ]. Между двумя последовательными нулями многочлена р_n (х) лежит один нуль многочлена p_n+1 (х). Многочлен р_n (х) может быть представлен в виде т. н. формулы Родрига

где A_n — постоянное, а b(х) см. формулу (*). Каждая система О. м. обладает свойствами замкнутости. Три последовательных О. м.

, ,  связаны рекуррентным соотношением:

,

где а_п+2 и l_n+2 следующим образом выражаются через коэффициенты этих многочленов: если

,

то

;

  Общая теория О. м. построена П. Л. Чебышевым. Основным аппаратом изучения О. м. явилось для него разложение интеграла

 в непрерывную дробь с элементами вида х — a_n и числителями l_n—1. Знаменатели j_n (х)/р_n (х) подходящих дробей этой непрерывной дроби образуют систему О. м. на отрезке [a, b ] относительно веса r(х).

  Приведённые выше классические системы О. м. выражаются через гипергеометрическую функцию.

  Лит.: Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962; см. также лит. при ст. Ортогональная система функций.

  В. И. Битюцков.