Симметрические функции
Симметри'ческие фу'нкции, функции нескольких переменных, не изменяющиеся при любых перестановках переменных, например
где суммы распространены на комбинации неравных между собой чисел k, l,...; они имеют первую степень относительно каждого из переменных. Согласно формулам Виета, x1, x2,..., xn являются корнями уравнения:
xn - f1xn-1 + f2xn-2 - ··· + (- 1) nfn = 0.
Согласно основной теореме теории С. ф., любой с. м. представляется как многочлен от э. с. м., и притом только единственным образом: F (x1, x2.,..., xn) = G (f1, f2,..., fn); если все коэффициенты в F целые, то и коэффициенты в G целые. Иными словами, всякий с. м. от корней уравнения выражается целым рациональным образом через его коэффициенты; например,
Другим важным классом С. ф. являются степенные суммы
Они связаны с э. с. м. формулами Ньютона
si - f1sl-1 + f2sl-2 + ··· + (— 1) lfl = 0,
и
sn+l - f1sn+l-1 + ··· +(-1) n fnsl = 0,
позволяющими последовательно выражать fk через srn и обратно.
Функция называется кососимметрической, или знакопеременной, если она не изменяется при чётных перестановках x1, x2,..., xn и меняет знак при нечётных перестановках. Такие функции рационально выражаются через f1, f2,..., fn и разностное произведение (см. Дискриминант) D = Пк<1 (xk — xl), квадрат которого является С. ф. и потому рационально выражается через f1, f2,..., fn.
Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 10 изд., М., 1971.
Симметричность
Симметри'чность в математике и логике, свойство бинарных (двуместных, двучленных) отношений, выражающее независимость выполнимости данного отношения для какой-либо пары объектов от порядка, в котором эти объекты входят в пару: отношение R называется симметричным, если для любых объектов x и y из области определения xRy влечёт yRx. Примерами симметричных отношений служат отношения типа равенства (тождества, эквивалентности, подобия), их «ослабленные формы» — отношения толерантности (сходства, соседства и т. п.), а также (как следует из данного выше определения) обратные к ним отношения неравенства и др. Отношение R называется антисимметричным, если из xRy при х (у следует ù yRx (отрицание yRx), т. е. если из xRy и yRx непременно следует х = у, таковы, например, отношения порядка (по величине или какому-либо другому упорядочивающему критерию) между числами или другими объектами, отношение включения между множествами и т. п. В применении к логическим и логико-математическим операциям свойство С. называется коммутативностью (перестановочностью); например, результаты сложения и умножения чисел, объединения и пересечения множеств, дизъюнкция и конъюнкция высказываний (см. Алгебра логики) не зависят от порядка слагаемых, сомножителей и т. д. Понятия С. и коммутативности естественно обобщаются на случай произвольного числа объектов.
Симметрия (в биологии)
Симметри'я в биологии (биосимметрия). На явление С. в живой природе обратили внимание ещё в Древней Греции пифагорейцы (5 в. до н. э.) в связи с развитием ими учения о гармонии. В 19 в. появились единичные работы, посвященные С. растений (французские учёные О. П. Декандоль, О. Браво), животных (немецкий — Э. Геккель), биогенных молекул (французские — А. Вешан, Л. Пастер и др.). В 20 в. биообъекты изучали с позиций общей теории С. (советские учёные Ю. В. Вульф, В. Н. Беклемишев, Б. К. Вайнштейн, голландский физикохимик Ф. М. Егер, английский кристаллографы во главе с Дж. Берналом) и учения о правизне и левизне (советские учёные В. И. Вернадский, В. В. Алпатов, Г. Ф. Гаузе и др.; немецкий учёный В. Людвиг). Эти работы привели к выделению в 1961 особого направления в учении о С. — биосимметрики.
Наиболее интенсивно изучалась структурная С. биообъектов. Исследование С. биоструктур — молекулярных и надмолекулярных — с позиций структурной С. позволяет заранее выявить возможные для них виды С., а тем самым число и вид возможных модификаций, строго описывать внешнюю форму и внутреннее строение любых пространственных биообъектов. Это привело к широкому использованию представлений структурной С. в зоологии, ботанике, молекулярной биологии. Структурная С. проявляется прежде всего в виде того или иного закономерного повторения. В классической теории структурной С., развитой немецким учёным И. Ф. Гесселем, Е. С. Федоровым и другими, вид С. объекта может быть описан совокупностью элементов его С., т. е. таких геометрических элементов (точек, линий, плоскостей), относительно которых упорядочены одинаковые части объекта (см. Симметрия в математике). Например, вид С. цветка флокса (рис. 1, в) — одна ось 5-го порядка, проходящая через центр цветка; производимые посредством её операции — 5 поворотов (на 72, 144, 216, 288 и 360°), при каждом из которых цветок совпадает с самим собой. Вид С. фигуры бабочки (рис. 2, б) — одна плоскость, делящая её на 2 половины — левую и правую; производимая посредством плоскости операция — зеркальное отражение, «делающее» левую половинку правой, правую — левой, а фигуру бабочки совмещающей с самой собой. Вид С. радиолярии Lithocubus geometricus (рис. 3, б), помимо осей вращения и плоскостей отражения содержит ещё и центр С. Любая проведённая через такую единственную точку внутри радиолярии прямая по обе стороны от неё и на равных расстояниях встречает одинаковые (соответственные) точки фигуры. Операции, производимые посредством центра С., — отражения в точке, после которых фигура радиолярии также совмещается сама с собой.